Problèmes avec les Limites

[Gargamel]

Bonjour!!!!

Alors voilà deux exercices pour m'entrainer, qui me paraissé simple...
Pourtant au fur et à mesure... C'est très difficile!!! Est ce que vous pouvez m'expliquez les démarches à faire en rédiagnt bien pour que je comprenne (car les maths et moi :/ )
Merci!!!


Exercice 1:

Soit ~ = infini
On considère la fonction f défini sur ]1;+ ~[ par F(x) = x^3 / x² - 1
On note Cf sa représentation graphique.

1) Calculer :
a- limite de f(x) quand x -> 1 et x > 1
b- limite de f(x) quand x -> + ~
Donner une interprétation graphique des résultats (si possible!)

2) a- Montrer que la droite ;) d'équation y = x est une asymptote à Cf en + ~
b- Etudier la position de Cf par rapport à ;)


Exercice 2:

On considère la fonction f défini sur ]0; + ~[ par f(x) = (1- 2/x)², on note Cf sa représentation graphique

1) Calculer:
a- limite de f(x) quand x -> 0 et x>0
b- Limite de f(x) quand x -> + ~
Donner une interprétation graphique des résultats.

2) a- Résoudre dans R+*, 1- 2/x > 0
b- Montrer que f est décroissante en ]0;2[ et que f est croissante sur ]2; 10[

3) Calculer f(1/2) et f(10), montrer que l'équation f(x)=2 admet une solution unique sur [1/2;10[

4) Calculer f(1), f(4) et f(8)



Pour moi ce que j'ai fais...

Exo 1.

1) a-
Lim x^3 / x² - 1 quand x ->1 et x >1 = + ~
La droite d'equation x = 1 est une asymptote verticale en + ~

b-
Lim x^3 / x² - 1 quand x -> + ~ = lim de x^3 / x² quand x -> + ~ = + ~
La droite d'equation y = ???? est une asymptote verticale en + ~

2) VRaiment aucune idée!!!

Exo 2

1) Soit gou la composition de la fonction f avec u = 1- 2/x et g = x²

a-
Lim 1- 2/x quand x ->0 et x > 0 = 1
Lim x² quand x -> 1 et x > 1 = 1
Alors par composition:
Lim (1- 2/x)² quand x -> 0 et x > 0 = 1

Donc la droite d'equation x= 0 est uen asymptote horizontale au voisinage d'1

b-
Lim 1- 2/x quand x ->0 et x > 0 = + ~
Lim x² quans x -> + ~ = + ~
Alors par composition:
Lim (1- 2/x)² quand x -> + ~ = + ~

Donc la droite d'equation y = ?? est uen asymptote verticale en + ~

2) Je ne sais pas du tout comme faire, ni la démarche à suivre!!

3) A part calculer f(1/2) qui donne 9 MAIS pour F(10) j'y arrive pas, pourtant c'est simple mais je bloque:

(1- 2/10)² = (1-4/20) = 20/20 - 4/20 = - 18/20 = - 9/10

Et donc je ne sais pas si le résultat est bon!!
et je ne sais pas démontrer que l''équation f(x)=2 admet une solution unique sur [1/2;10[

4) f(1) = 0; f(4) = -1 et f(8) = 3
Une erreur??????

[flaja]

On considère la fonction f défini sur ]1;+ ~[ par F(x) = x^3 / x² - 1
b-
Lim x^3 / x² - 1 quand x -> + ~ = lim de x^3 / x² quand x -> + ~ = + ~
La droite d'equation y = ???? est une asymptote verticale en + ~

une asymptote peut être inclinée : ici asymptote y=x : x - F(x) -> 0

[flaja]

Lim 1- 2/x quand x ->0 et x > 0 = 1

x -> +0 alors 1/x -> +infini

[Gargamel]

ah ouiii!!!

Donc une asymptote oblique???
Mais j'écris ça comment avec la justification??

Comme ça: La droite d'equation y = x est une asymptote oblique en + ~ car x - F(x) -> 0

[Ossian]

Un peu long ton texte! il vaudrait mieux au moins séparer les deux exercices!

exo1:
1) a) "x=1 asymptote verticale" suffit (iet ce n'est pas en +inf puisque c'est à droite de 1)
b) limite +inf en +inf, donc pas d'asymptote en +inf
2) a) étudier la limite de f(x) - x en +inf et là il y aura une limite nulle, donc une asymptote oblique d'équation y=x
b) pour la position, il faut étudier le signe de f(x)-x :
si f(x)-x > 0 au voisinage de +inf alors f(x) > x donc ....?
si f(x)-x 0 et x > 0 = 1"[/i] c'est faux car lim 2/x quand x ->0 et x > 0 est +inf
"la droite d'equation x= 0 est asymptote horizontale au voisinage d'1": faux : il ne peut y avoir d'asymptote horizontale que au voisinage de +inf ou de -inf.
pour l'idée de composer, OK
au voisinage de 1, il y aura une asymptote verticale si tu trouves une limite infinie
b) Lim 2/x quand x -> +inf est 0
au voisinage de +inf, il y aura une asymptote horizontale d'équation y = L si tu trouves une limite finie égale à L
2) a) pour résoudre, on peut mettre au même dénominateur et faire un tableau de signes sur R+*
b) pour les variations, il faut d'abord faire les variations de la fonction u sur ]0;+inf[, puis la composition avec la fonction g, en tenant compte du signe que tu auras trouvé au b)
3) " (1- 2/10)² = (1-4/20) " c'est Faux : (1- 2/10)² = (8/10)²=(4/5)² = ....
ensuite tu reportes dans ton tableau de variations pour répondre.


BON DM

[Gargamel]

exo1:
b) limite +inf en +inf, donc pas d'asymptote en +inf + ~ = 0 + ou -???

b- si f(x)-x > 0 au voisinage de +inf alors f(x) > x donc f(x) = = + ~
si f(x)-x 0 et x > 0 = 1" c'est faux car lim 2/x quand x ->0 et x > 0 est +inf +inf est 0
au voisinage de +inf, il y aura une asymptote horizontale d'équation y = L si tu trouves une limite finie égale à L
Je ne trouve pas de limite L, je ne vois pas du tout comment faire!


2) a) pour résoudre, on peut mettre au même dénominateur et faire un tableau de signes sur R+*
Donc ca donnerai:

1- 2/x > 0
1/x - 2/x > 0
1-2/x > 0
x 0
Mais non ca ne va pas!!! Puisque si x < -1 je ne peux pas résoudre? Je me suis trompée où??

b) pour les variations, il faut d'abord faire les variations de la fonction u sur ]0;+inf[, puis la composition avec la fonction g, en tenant compte du signe que tu auras trouvé au b)

Oui mais pourtant je l'ai déjà fais ca non???

[Ossian]

exo1:
b) limite +inf en +inf, donc pas d'asymptote en +inf + ~ = 0 + ou -??? aucune importance ici!

b- on montre que f(x)-x > 0 car x > 1 donc f(x) > x et la courbe Cf est au dessus de

exo2:
1) a)
"Lim 1- 2/x quand x ->0 et x > 0 = 1" c'est faux car lim 2/x quand x ->0 et x > 0 est +inf +inf est 0
au voisinage de +inf, il y aura une asymptote horizontale d'équation y = L si tu trouves une limite finie égale à L
Je ne trouve pas de limite L, je ne vois pas du tout comment faire!
Lim 2/x quand x -> +inf est 0 donc Lim (1 - 2/x)² quand x -> +inf est 1 : L=1


2) a) pour résoudre, on peut mettre au même dénominateur et faire un tableau de signes sur R+*
Donc ca donnerai:

1- 2/x = x/x - 2/x =(x-2)/x
tableau avec une ligne pour x-2, une pour x et une pour le quotient

on trouve:
Pour tout x E ]0; 2[, 1- 2/x 0

b) pour les variations, il faut d'abord faire les variations de la fonction u sur ]0;+inf[, puis la composition avec la fonction g, en tenant compte du signe que tu auras trouvé au b)

Oui mais pourtant je l'ai déjà fais ca non??? NON
revois les variations de la fonction carré