Convergence uniforme d'une serie de fonction

[roni]

Salut, pouvez vous m'aider s'il vous plait :
On connait que qu'une serie de fonctions converge uniformement sur X si et seulement si la serie verifie le critere uniforme de cauchy, d'où pour prouver que la serie ne converge pas uniformement, il suffit de prouver qu'il existe deux suites à valeur dans N, et qu'il existe une suite à valeur dans X, tel que et pour tout
alors ce resultat est-il correcte?si oui, pouvez vous m'expliquer pourquoi?
merci

[aviateur]

Bonjour J'ai un doute sur la validité du résultat. En effet je crois que la série f_n(x)=sin(nx)/n CVU sur X=[0 ,Pi]

on peut toujours choisir w_k tel que f_k(w_k)=/k. Avec u_n=n et v_n=2n ton critère est malgré tout vérifié.

[Ben314]

Salut,
Le critère de Cauchy de convergence uniforme pour une suite de fonctions de X dans R, c'est :

La négation c'est bêtement ça :

qui te dit très précisément qu'il existe un réel , deux suites d'entiers , et une suite d'éléments de X tels que, pour tout , on ait et .

Par contre (et évidement...) il ne faut pas écrire comme tu le fait que vu que ça signifierais que la limite existe et quelle est non nulle alors que tout ce qu'on peut dire, c'est que ne tend pas vers 0, c'est à dire qu'il tend vers autre chose que 0, ou bien qu'il n'y a pas de limite. Bref, la négation de "avoir une limite nulle", c'est évidement pas "avoir une limite non nulle".

Donc modulo l'écriture finale incohérente, oui, le résultat est on ne peut plus correct et c'est du "bête et méchant" vu que c'est stricto sensu la négation même du critère en question.

@aviateur : Ça m'étonnerais fort que la série des sin(nx)/n puisse converger uniformément sur [0,pi] vu qu'elle converge vers une fonction discontinue (a savoir (pi-x)/2 sur ]0,pi] et 0 en 0).

[aviateur]

Bonjour, d'accord je retire mon doute. C'est correct d'après l'explication de Ben .
Mon exemple ne va pas à cause de 0. Il y a surement CVU sur [a ,\Pi] avec a>0 mais une suite w_k comme je l'avais proposé doit avoir 0 comme point d'accumulation. Donc ce n'est pas un contrexemple.

[roni]

Salut, si la limite ne tend pas vers 0 (par exemple si la limite etait l>0), d'ou la serie de fonction ne converge pas uniformement, c'est ca ce que vous voulez dire?

[aviateur]

Salut, Non je pense que Ben veut dire que la façon dont on interprète ce que tu as dit c'est que "la limite de ton expression n'est pas 0". Mais la négation de "la limite n'est pas 0" ce n'est pas "la limite est différent de 0'.

[roni]

Oui je connais, la limite ne tend pas vers 0, ca veut soit elle existe et elle. Non nulle, soit elle est infini... Soit on n'a pas de limite, mais ma question est: si on a obtenu, en minorant successivement la somme, une limite l>0 alors cela signifie-t-il que la serie de fonctions ne converge pas uniformement?

[roni]

comme exercice d'application, prouvons par exemple que la serie de fonctions alors si on pose et en minorant successivement la serie on obtient une limite l >0, d'où la serie de fonction ne converge pas uniformement sur [0,1] et le probleme sera en 1.