Problème de système !!

[joce59]

Salut à tous !
Voila, à la suite d'un problème, je deduit un système qui est le suivant :

x+y+z = 5400
0.99x+0.96y+1.12z = 5400
0.99x+0.985y+1.06z = 5400

En procédant par substitution j'arrive à un certain point qui nous donne :

x=-y-z+5400
-0.03y+0.13z=54
-0.005y+0.07z=54

Le problème est que je n'arrive pas à aller plus loin. Je suis sûr et certain que mon système est bon. Je ne pense pas avor fait d'erreur de calcul jusqu'a présent mais le fait est que je suis plus que bloqué !! Ah oui, un dernir élément : je suis censé trouver la répartition du nombre d'employés d'ue entreprise dans 3 différentes catégories donc, le nombre doit être positif et entier !

[Quidam]

x=-y-z+5400
-0.03y+0.13z=54
-0.005y+0.07z=54

Le problème est que je n'arrive pas à aller plus loin. Je suis sûr et certain que mon système est bon.

Puisque tu es "sûr et certain" que ton système est bon, je ne vérifie pas.

Eh bien, tu as brillamment substitué x, donné par la première équation, dans les équations 2 et 3. Tu observes donc par conséquent que les deux dernières équations ne contiennent plus que y et z ! Tu as donc deux équations à deux inconnues y et z !
Pourquoi ne continuerais-tu pas le processus ? Par exemple, tu peux exprimer y avec la deuxième équation et le substituer dans la troisième. y disparaîtra et tu auras une équation à une inconnue z !

Ensuite tu trouves z, puis y puis x !

[joce59]

C'est ce que j'ai tenté mais, en allant au bout des calculs, je trouve des résultats totalement icohérents à ce que l'on me demande de trouver... Et pourtant, je ne vois pas d'autres système pouvant covenir à l'énoncé...

[Quidam]

C'est ce que j'ai tenté mais, en allant au bout des calculs, je trouve des résultats totalement icohérents à ce que l'on me demande de trouver... Et pourtant, je ne vois pas d'autres système pouvant covenir à l'énoncé...

Dans ce cas, il n'y a pas 36 solutions ! Tu as trouvé x, y et z, d'accord ?
Alors, première chose, vérifie que les trois valeurs trouvées x,y et z vérifient effectivement le système de départ :
x+y+z = 5400
0.99x+0.96y+1.12z = 5400
0.99x+0.985y+1.06z = 5400

Deux cas peuvent se produire :

Si tes trois valeurs vérifient effectivement ce système, c'est que tu ne t'es pas trompé dans la résolution de ce système, et si tu dis que ça ne convient pas avec le reste du problème, je ne peux rien suggérer, étant donné que tu n'as pas donné le début du problème !

Si tes trois valeurs ne vérifient pas ce système, c'est que tu t'es trompé dans la résolution du système ! Dans ce cas, je vais essayer de le résoudre moi aussi, mais pas avant que tu ais donné les trois valeurs trouvées et que tu ais vérifié qu'elles constituent bien la solution !

[joce59]

Alors je trouve :

x=4983.952524
y=0.538572782
z=415.5089036

Ces valeurs vérifient bien le système !! car x+y+z = 5400 mais le problème est que c'est strictement impossible étant donné mon énoncé qui m'impose comme contraintes que x appartient à N, vu que l'on parle d'employés dans ue entreprise...
Ca doit être mon système de départ qui est mauvais...

[Quidam]

Ces valeurs vérifient bien le système !! car x+y+z = 5400

FAUX ! Pour être sûr que x,y et z vérifient bien le système, il ne suffit pas de vérifier l'une des trois équations ! Il faut vérifier les trois !

Et justement :
Avec :
x=4983.952524
y=0.538572782
z=415.5089036
Je constate que :
x+y+z=5400
0.99x+0.96y+1.12z = 5400
0.99x+0.985y+1.06z = 5375.082930

Ta troisième équation n'est pas vérifiée ! Tu t'es trompé !

Cela dit, pas la peine de recommencer !
En effet, j'ai résolu ton système et je trouve :




Pour faire ça, il faudra au moins découper un employé en trois morceaux. Il devra s'y faire !

Trève de plaisanterie, ça ne marche pas, je suis bien d'accord !

Ca doit être mon système de départ qui est mauvais...

Ben oui !

Je suis sûr et certain que mon système est bon

Fallait pas être sûr et certain ! Vérifie donc !

Bon courage !

[ours54]

pourriez vous nous donner l'enonce complet de votre probleme?merci :triste:

[joce59]

Merci beaucop Quidam du temps que tu m'a consacré mais j'ai une question. Comment as-tu résolu mon système !?

[joce59]

Pour Ours, voici mon énoncé :

Une entreprise enploie au 1er janvier 5400 employés répartis en 3 catégories de personnel : A, B et C.
Le responsable du personnel souhaite restructuer l'entreprise, à effectif global constant.
Il affirme : "si on diminue clans l'année les effectifs des catégories A et B respectivement de 1% et de 4%, et que l'on augmente l'effectif de la catégorie C de 12%, l'entreprise conservera le même nombre global d'employés. "
Son adjoint affirme quant à lui : "On pourrait diminuer les effectifs des catégories A et B respectivement de 1% et de 1.5% et augmenter l'effectif de la catégorie C de 6%, l'entreprise conserverait le même nombre global d'employés."
Sachant qu'aucu ne se trompe dans ses calculs, déterminer la répartition initiale du nombre d'employés par catégories.

[Quidam]

Comment as-tu résolu mon système !?

Dans la mesure du possible, je cherche à préserver les valeurs exactes, car cela permet d'éliminer les doutes engendrés par les erreurs d'arrondis lors de la vérification ! Ici, c'était possible. J'ai d'abord simplifié l'énoncé pour me débarrasser des "nombres à virgule".
x+y+z = 5400 [1]
0.99x+0.96y+1.12z = 5400 [2]
0.99x+0.985y+1.06z = 5400 [3]

J'ai d'abord remplacé [2] en soustrayant [2] de [1] :

x+y+z = 5400 [1]
0.99x+0.96y+1.12z = 5400 [2]
donne par soustraction :
0.01x+0.04y-0.12z=0

et, en multipliant tout par 100 :

x+4y-12z=0 [2']

J'ai ensuite remplacé [3] en soustrayant [3] de [1] :

x+y+z = 5400 [1]
0.99x+0.985y+1.06z = 5400 [3]
donne par soustraction :
0.01x+0.015y-0.06z=0

et, en multipliant tout par 1000 :

10x+15y-60z=0 [3']

Le système est alors nettement plus sympathique :

x+y+z = 5400 [1]
x+4y-12z=0 [2']
10x+15y-60z=0 [3']

Ensuite, j'ai fait comme toi : De [1], je tire x=5400-y-z, et j'injecte ces expressions de x dans [2'] et [3'] :

5400-y-z+4y-12z=0 [2']
10(5400-y-z)+15y-60z=0 [3']

Toutes simplifications faites, j'obtiens :

3y-13z = -5400
5y-70z = -54000

Après, c'est la classique résolution d'un système de deux équations à deux inconnues.

ax+by = c
a'x+b'y = c'

a pour solution :




à condition que ab'-a'b soit différent de 0 ce qui était le cas. Tu ne connais peut-être pas encore ces formules toutes faites ! Mais en substituant, tu aurais trouvé la même chose ! Simplement, le fait de travailler avec des nombres entiers me permet de préserver l'exactitude des résultats, quitte à donner en fin de course une approximation décimale.

J'ai donc trouvé et , valeurs que j'ai reportées dans x=5400-y-z pour trouver finalement

Enfin, j'ai vérifié le système, c'est-à-dire chacune des trois équations du système. C'est indispensable ! Pour tout te dire, j'ai fait ce calcul deux fois, car j'avais fait une erreur la première fois : au moment de la vérification, j'avais constaté que l'équation 1 était vérifiée, que l'équation 2 était vérifiée...mais que l'équation 3 ne l'était pas ! Alors,...j'ai tout vérifié et trouvé mon erreur !

Cela doit être systématique ! Il faut toujours vérifier ses calculs, car personne n'est à l'abri d'une erreur !

[Quidam]

A la vue de l'énoncé complet, je ne vois pas d'erreur dans ton système ! Reste une autre option : l'erreur du poseur de problème ! Cela arrive parfois !

P.S. Tu peux supposer que le nombre d'employés est 29*5400 ! ALors tous les nombres trouvés seront multipliés par 29 et tes nombres d'employés seront des entiers !

[joce59]

D'accord merci beaucoup pour ton explication et les méthodes données Quidam ! Je vais te laisser tranquille j'pense que t'as bien bossé pour aujourd'hui !
Bonne soirée !
(Je demanderais demain s'il n'y a pas d'erreur dans l'énoncé à mon prof. de maths demain)