Question d'olympiade

[SilentMount]

Bonsoir,
Je suis tombé sur une question qui était poser aux olympiades de math en 2009, ce qui est de particulier avec cette question c'est qu'il faut la resoudre sans calculette (vu que c'etais posé a l'olympiade) sinon avec calculette tu a juste à appliquer la formule général.
Voila je serai content si qlq pouvait m'aider a la resoudre

Q: quel est le reste de la division par 7 du nombre :1^3 + 2^3 + 3^3 + .... + 2009^3 ?

x^3 : x exposant 3

Merci

[pascal16]

on peut calculer les restes pour les 7 premier termes.
et comme leur somme est un multiple de 7, le reste de la somme des 7 premiers termes est alors 0.

puis 8^3=(7+1)^3 a le même reste par division euclidienne par 7 que 1^3
9^3=(7+2)^3 a le même reste par division euclidienne par 7 que 2^3
...
le reste de la somme est la somme des restes modulo 7.
on a pile poil 287 paquets de 7 termes, chaque paquet a un reste nul, la somme a un reste nul

réponse : 0 pour moi, c'est un multiple de 7

[infernaleur]

Je suis d’accord avec la réponse de pascal16 et je vous propose cette démonstration ^^

La seule chose a savoir est que :

=

Ensuite pour n=2009 tu obtiens 1^3+...+2009^3=(2009*1005)^2=2009^2*1005^2
et comme 2009 0 [7] (car 2009=7*287)
tu en déduit que
1^3+...+2009^3 0[7]