Espace vectoriel

[AdrienPC]

Boujour, j'ai une petite question sur les espaces vectoriels.
j'ai une propriété qui dit : Deux esp vect de dimension finie sont isomorphes ssi dimE=dimF
Cela signifie-t-il qu'une fct f de E dans F est bijective ?
Merci.

[Mimosa]

Bonjour

Cela signifie qu'il existe un isomorphisme linéaire de dans . Il existe aussi des tas d'application linéaires de dans qui ne sont pas bijectives, comme par exemple l'application nulle!

[pascal16]

Si je me rappelle bien, on peut dire aussi que
si E et F sont de même dimension, une fonction qu'on démontre injective ou surjective est forcément bijective.
si par f, Im(E) =F, alors f est bijective (f surjective => f bijective)

dans l'autre sens.
si deux EV sont de même dimension, il existe au moins 1 bijection de l'un vers l'autre.
si deux EV sont de dimension différente, il n'y a pas de bijection de l'un vers l'autre

plus plein de trucs qui en découlent :
s'il existe une bijection entre une partie de E et une de F (deux ss ev par définition), on peut la "compléter" pour définir une bijection de E vers F.
si dim F> dimE, et f est injective, si on restreint F à Im(E), f devient bijective.
le théoreme du rang : dim(Im f)+dim(ker f)=dim E

[AdrienPC]

Ah oui ça y est, c'est plus clair maintenant. Merci de vos réponses !