Espérance conditionnelle et variance

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leokris
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Espérance conditionnelle et variance

par leokris » 25 Avr 2017, 18:11

Bonjour à tous,

Je vous propose une question de QCM et la réponse que j'y ai apportée.

On considère 2 variables aléatoires X et Y.
Z=E(Y/X).
Parmi ces assertions, lesquelles sont exactes (0, 1 ou plusieurs réponses possibles) ?
A) E(Z)=E(Y/X)
B) Var(Z)=Var(Y)
C)Var (Z)=Var(Y)+Var(X)
D) Var (Z)=Var(Y) - Var(X)
E) Var(Z)<= Var(Y)

Je ne vois qu'une bonne réponse : La réponse A.
Les autres me semblent hasardeuses étant donné que nous ne connaissons pas les lois suivies, et les relations de dépendances entre X et Y.

N'hésitez pas à me dire ce que vous en pensez, je ne vous cache pas que je ne suis pas sûr de ce que j'avance.
Merci par avance,

Léo



pascal16
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par pascal16 » 25 Avr 2017, 20:30

c'est Z=E(Y/X) ou Z=(Y/X) ?
Modifié en dernier par pascal16 le 26 Avr 2017, 12:05, modifié 1 fois.

leokris
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par leokris » 25 Avr 2017, 22:21

pascal16 a écrit:c'est Z=E(Y/X) ou Z=Y/X ?


C'est Z=E(Y/X) :)

pascal16
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par pascal16 » 26 Avr 2017, 07:31

pour moi Z est alors constante, donc de variance nulle et seule la E est vraie.
Bizarre !
Avis aux autres foromeurs.

leokris
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par leokris » 26 Avr 2017, 08:30

pascal16 a écrit:pour moi Z est alors constante, donc de variance nulle et seule la E est vraie.
Bizarre !
Avis aux autres foromeurs.


C'est ce que j'ai pensé en premier lieu.
En effet, je crois que l'espérance d'une variable aléatoire est constante.
Après quelques recherches, il me semble toutefois que l'espérance d'une VA conditionnée par une autre VA, est aussi une variable aléatoire.

leokris
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par leokris » 26 Avr 2017, 11:16

En y réfléchissant mieux, j'ai tendance à penser que la réponse A n'est pas correcte non plus. En effet E(Z) est une constante, alors que E(Y/Z) est une variable aléatoire ...

pascal16
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par pascal16 » 26 Avr 2017, 12:16

J'ai lu ça aussi :
L’espérance conditionnelle de X sachant Y, notée E(X|Y), est une variable aléatoire, définie par E(X|Y)(ω) := h(Y(ω)), ∀ω ∈ Ω , où h est la fonction définie par h(yj) = E(X|Y = yj) pour tout j ∈ {1,··· ,m}.

Vu de loin,en discret, le 'sachant Y' diminue le nombre de valeurs non nulles, donc diminue la variance. La E serait alors juste.

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zygomatique
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par zygomatique » 26 Avr 2017, 14:01

salut

effectivement Z = E(X/Y) est une variable aléatoire (abus de natation) ... constante si X est indépendante de Y (il me semble)

donc E(Z) = E(E(X/Y)) et en général E(Z) <> Z ...(abus de notation)

et je pencherai pour la même réponse que Pascal16 ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

leokris
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Re: Espérance conditionnelle et variance

par leokris » 27 Avr 2017, 14:49

zygomatique a écrit:salut

effectivement Z = E(X/Y) est une variable aléatoire (abus de natation) ... constante si X est indépendante de Y (il me semble)

donc E(Z) = E(E(X/Y)) et en général E(Z) <> Z ...(abus de notation)

et je pencherai pour la même réponse que Pascal16 ...


Je penche aussi pour la même réponse, mais sans parvenir à la démontrer ...

 

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