Voilà l'exercice sur lequel je bloque:
Mes réponses:
a) f est de classe C2, donc f est également C1. Ainsi f est localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable (conséquence de l'inégalité des accroissements finis, vu en cours).
On en déduit le résultat par définition d'une fonction localement lipschitzienne.
b) La fonction f est continue et localement lipschitzienne, donc d'après le théorème de Cauchy-Lipschitz, il existe une unique solution maximale.
Intervalle de définition de la solution ? J'ai envie de dire R parce que la fonction f est défini sur R, mais ça me semble pas être une bonne justification du tout.
c) On a
En factorisant on a:
Or on cherche:
D'où :
d) Je bloque à partir d'ici..
On a vu cette définition en cours pour schéma stable:
Mais je vois pas pour autant comment faire, je suppose qu'il faut montrer qu'il existe un S telle qu'on ai l'inégalité (dans la définition), mais j'y arrive pas du tout..