Bonjour, voici peut être l'idée de la solution mais il faut écrire un peu afin d'être certain que ça marche. .
On pose
et
On applique la transformation d'Abel
On pose
et il faut montrer que c'est borné.
Pour cela on peut regrouper dans A_k les a_k par paquet de 3 ou 4 éléments qui ont le même signe.
Pour montrer que A_k est majoré on procède comme ceci: lorsque un paquet "positif"
ou bien a_j, a_{j+1},a_{j+2},a_{j+3} on peut le majorer par
c/\sqrt{j} (c est une constante indépendante de j.) le paquet suivent peut être minorée en valeur absolue
par une constante c'/\sqrt{j} ou
ou
C'est ici qu'il faut faire un effort.
alors A_k est majoré par une serie alternée...