Application du produit scalaire à un triangle

[koalito]

Bonjour,

Je ne parviens pas à trouver la bonne méthode d'application du produit scalaire pour ce problème :


J'ai trouvé la valeur de tous les angles des triangles :
(ACD) = 90°
(CDA) = 45°
(le triangle CAD est donc isocèle et rectangle en C, et AD = CD)
(CBD) = 105°
(ACB) = 60°

J'ai essayé d'appliquer Al Kashi à plusieurs côtés des triangles, mais je ne parviens pas à la bonne combinaison qui me permettrait d'isoler la valeur de BC ...

Merci d'avance de votre aide.

PS : Instinctivement, puisque l'angle (ACB) est le double de l'angle (BCD) et que le triangle ACD est isocèle, je subodore que AB est le double de BD (et donc que BD = 3) ... mais comment le démontrer ?

[siger]

bonsoir

connais-tu la formule des sinus ? (je ne. connais pas, pour ma part, les programmes des differentes classes! )

BC/ sin(45) = AB / sin(60) = AC / sin( 75)

.......

[pascal16]

façon collège s'il est guidé :
en partant de la hauteur issue de C dans ABC, appelon H son pied :
AB=AH+HB s'écrit : AB=ACcos45 + BC cos75
et CH=CH s'écrit BCsin75=ACsin45
2 inconnues : AC et BC, 2 équations, bcp moins propre que la formule des sinus.

[koalito]

Merci de vos réponses.

siger : d'où viennent ces égalités entre les rapports coté/sinus angle opposé ? Découlent-elles d'un théorème ou d'une autre propriété ?

pascal16 : Pas évident, mais élégant, la division du triangle en deux triangles rectangles avec la hauteur issue de C ! ... mais la résolution du système d'équation amène à une sacrée usine à gaz :
BC = (AB sin45)/(sin75.cos45 + cos75.sin45)

On trouve 4,9 ... qui correspond aussi à BC = AB x sin45 / sin60 !

Mais ... quelque chose me dit que ce n'est pas la méthode attendue, car l'exercice est posé dans le cadre de la leçon sur les produits scalaires ...

Dernière minute : je viens de me pencher sur la démonstration de la loi des sinus (merci siger) : Parfait ! C'est acquis (on démontre justement l'égalité des rapports sinus/coté opposé en utilisant les hauteurs issues des sommets, dont parlait pascal16 !!!)

[pascal16]

Moi aussi, j'ai recherché le lien avec le produit scalaire et je n'ai pas trouvé.

un cours ;
http://www.parfenoff.org/pdf/1re_S/geom ... angles.pdf
qui démontre d'abord la formule des sinus, puis fait exactement le même exercice avec cette formule.

[chan79]

salut
Sans la loi des sinus:
H projeté orthogonal de B sur (AC)
On trouve BH=AH=3
Avec le cosinus de CBH qui mesure 30°, on trouve BC=2 et CH=
BD=AD-6=


Mais avec le produit scalaire ?