Suite numérique

[fana01]

Bonjour,

J'ai deux exercices sur les suites numériques à faire mais je rencontre quelques difficultés :

Exo 1:
Soit la suite Un définie par son premier terme U0 et par 4Un+1=3 Un+2
1) Pour quelle valeur de Uo, la suite Un est-elle stationnaire ?
2) Pour la suite, nous supposons que U0=-1. Calculer les 4 premiers termes.
3)Soit la suite Vn définie par Vn=Un-2.
Montrer que la suite Vn est une suite géométrique. En déduire l'expression de Un en fonction de n.

1) Je ne comprends pas du tout cette question, je n'arrive pas à commencer.
Comment calculer avec 4Un+1 ?

2) Je trouve, U0=-1, U1=-0.25, U2=0.313, U3=0.735

3) Vn= Un-2
V0=U0-2=-1-2=-3
V1= U1-2= -0.25-2=-2.25
-2.25/-3=0.75
La raison de la suite est 0.75 et V0=-3
Vn= Un-2, donc Un=Vn+2=-3*0.75^n+2

Exo 2
Le prix d'un article est P0. L'inflation est supposée constante et égale à 2% par an.
On note P1, P2, ...Pn le prix de cet article après 1 an, 2 ans, n années.
Supposons que P0=100€.
1) Calculer P1, P2, P3.
2)Montrer que Pn est une suite géométrique. Exprimer Pn en fonction de n.
3) Au bout de combien d'années le prix de l'article aura-t-il doublé ?

1) Je trouve P1=102, P2=104.04, P3=106.1208

2) Pn+1/Pn=102/100=1.02.
La raison est donc de 1,02 et P0=100, soit
Pn=100*1.02^n

3) Pouvez-vous me dire de quelle manière je dois m'y prendre pour répondre à cette question.

Merci d'avance pour votre aide.

[pascal16]

Pn=100*1.02^n

on cherche n tel que Pn=200 (ou n le plus petit entier tel que Pn>=200 )
soit à résoudre 200=100*1.02^n
ça se fait en divisant par 100, on prend le LN, on se rappelle que ln(a^b)=b ln(a) ...

[titine]

Exo 1:
Soit la suite Un définie par son premier terme U0 et par 4Un+1=3 Un+2
1) Pour quelle valeur de Uo, la suite Un est-elle stationnaire ?

Une suite U est stationnaire si , pour tout n , U(n+1) = U(n)
Comme 4U(n+1) = 3U(n) + 2
Si U(n+1) = U(n)
Alors : 4U(n) = 3U(n) + 2
Donc U(n) = 2
En donc, en particulier, U0 = 2
(Tu peux vérifier que si le 1er terme est 2, tous les termes de la suite seront égaux)

As tu compris mon raisonnement ?

2) Pour la suite, nous supposons que U0=-1. Calculer les 4 premiers termes.
Je trouve, U0=-1, U1=-0.25, U2=0.313, U3=0.735

U2 = 5/16 (ou 0,3125 si tu tiens vraiment à la forme décimale)
U3 = 47/64 (0,735 est une valeur approchée, pas la valeur exacte)

3)Soit la suite Vn définie par Vn=Un-2.
Montrer que la suite Vn est une suite géométrique.
Vn= Un-2
V0=U0-2=-1-2=-3
V1= U1-2= -0.25-2=-2.25
-2.25/-3=0.75
La raison de la suite est 0.75 et V0=-3

Tu n'as pas démontré que la suite (Vn) est géométrique. Pour cela il faut montrer que , pour tout n ,
V(n+1) = V(n) * q

On sait que Vn= Un-2
Donc V(n+1) = U(n+1) - 2
Or on sait que 4U(n+1) = 3U(n) + 2 donc que U(n+1) = (3U(n) + 2)/4
Par conséquent : V(n+1) = U(n+1) - 2 = (3U(n) + 2)/4 - 2 = (3U(n) + 2 - 8)/4 = (3U(n) - 6)/4 = 3(U(n) - 2)/4
= (3/4) * (U(n) - 2)
Or U(n) - 2 = V(n)
Donc V(n+1) = (3/4) * V(n)
Conclusion : (Vn) est une suite géométrique de raison 3/4

As tu compris le raisonnement ?

[fana01]

Merci beaucoup Titine, votre raisonnement est très clair et facilement compréhensible.
Notamment pour la question 1 que j'ai réussi à comprendre.

Merci pascal16 de votre réponse mais je ne comprends pas la dernière partie.
Pn=100*1.02^n

on cherche n tel que Pn=200 (ou n le plus petit entier tel que Pn>=200 )
soit à résoudre 200=100*1.02^n

Jusque là pas de problème, c'est globalement ce que je pensais, mais cette étape-là me pose problème :
ça se fait en divisant par 100, on prend le LN, on se rappelle que ln(a^b)=b ln(a) ...

Pourquoi diviser par 100 ? Merci d'avance

[fana01]

Bonjour,
Désolé d'insister mais quelqu'un pourrait-il m'expliquer le méthode pour résoudre mon exercice ?

Merci d'avance.

[titine]

Tu veux résoudre : 200=100*1.02^n
En divisant par 100 des 2 côtés ça donne : 100 = 1,02^n
Il faut donc trouver la valeur de n pour laquelle 1,02^n est égale à 100

Connais tu la fonction ln ?

[siger]

bonjour

attention : 200/100= 100.......mauvais reveil titine ?

[titine]

bonjour

attention : 200/100= 100.......mauvais reveil titine ?

Oui, pardon !

Ça donne : 2 = 1,02^n
Donc on cherche pour quelle valeur de n , 1,02^2 est égal à 2.

[fana01]

Merci beaucoup pour vos réponses.

Je comprends le raisonnement avec le LN, seulement calculer avec n en puissance me pose problème.
Je trouve : ln 1.02^n=ln2 =n ln 1.02=ln 2 = 1.02n=2

Je me doute que je dois me tromper quelque part mais je ne vois pas où.
Merci d'avance pour votre aide.

[siger]

re

ln( 1.02^n)= n*ln(1.02) = ln(2)
n = ln(2)/ln(1.02) = 35

[fana01]

Merci beaucoup d'avoir pris le temps de me répondre.

[fana01]

Bonjour,

Je suis désolé de vous déranger de nouveau.
Je suis actuellement en pleine rédaction de mon devoir et en relisant vos messages , j'ai compris à quel point la remarque de titine sur le fait que je n'avais pas démontré correctement que la suite Vn est géométrique dans l'exo 2 est très importante.
Du coup, je me demandais si pour la question 2 de l'exo 3 il fallait procéder de la même manière pour démontrer que Pn est géométrique ou si le fait de dire que comme l'inflation est égale à 2% chaque année (et donc que ça revient à multiplier le terme précédent par 1,02) suffit à le démontrer ?

Merci d'avance pour votre éclairage et encore désolé pour le dérangement.

[fana01]

Désolé d'insister mais quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

[siger]

re

par defintion une suite geometrique est definie par
u(n) /u(n-1) = r
ou de maniere equivalente
u(n) = u(0)*r^n

chaque année on multiplie le resultat de l'année precedente par 1,02
on a donc quelque soit n, P(n) = P(n-1)*1,02
ce qui est suffisant pour montrer que P(n) est geometrique

[fana01]

Merci beaucoup pour votre aide.