Devoir Suites récurrentes / arithmétiques

[JackyJacky]

Bonjour, pour les vacances, notre professeur de Mathématiques nous a gentiment proposé un DM sur les suites arithmétiques.... le problème étant qu'il nous a donné le DM fait par sa collègue sans se soucier du fait que nous n'avions pas fini notre chapitre ! Nous en avons vu assez pour répondre à quelques questions (j'ai fait l'exercice 1 en entier assez facilement) mais pas suffisamment à mon goût pour faire le deuxième xD
À suivre....


Exercice 1 :

Soit la suite u définie :
pour tout n supérieur ou égal à 0
par Uo = 8
par Un+1 = 1/3 x Un + 2


1) Soit (O; i; j) un repère orthogonal.
Construire les quatre premiers termes de la suite dans le repère ci-dessous en expliquant la méthode. On fera apparaitre les termes de la suite sur l'axe des ordonnées ou des abscisses.

2) Conjecturer le sens de variations de U et la limite de la suite quand n tend vers + l'infini



Exercice 2 :


Soit U la suite définie :
pour tout n supérieur ou égal à 0 par son premier terme Uo = 1/2
par Un+1 = Un / (1+2xUn)


1.
a) Calculer les trois premiers termes. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?Justifier.

b) Programmer la suite sur la calculatrice puis donner une valeur approchée à 0,001 près du terme U5

2. Soit V la suite définie :
pour tout n supérieur ou égal à 0
par Vn = 1/Un + 1


a) calculer les trois premiers termes de la suite v. Que peut-on conjecturer ?

b) Montrer que la suite V est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme

c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n

d) Déterminer le sens de variation de la suite V. En déduire le sens de variation de U

e) Exprimer en fonction de n, la somme S = V0 + V1 +......+ Vn


Donc, comme je vous le disais, l'exercice 2 pose problème... nous ne connaissons pas les suites geographiques ! J'ai trouvé pour la question 1.a) que la suite Un n'était pas arithmétique, mais est-elle quelque chose ? Géométrique ? J'ai fait quelques recherches mais je n'arrive pas à une conclusion satisfaisante... (calculs qui tournent en rond)
Pour le b) c'est bon
Pour le 2 par contre, nous n'avons jamais eu affaire avec des suites à l'intérieur de suites xD :
Pour le a) je conjecture que Vn est arithmétique de raison 2
Pour le b) je n'arrive pas à démontrer qu'elle est arithmétique et à trouver sa raison avec le seul calcul qu'on connaît (Vn+1 - Vn) qui tournent en rond à cause des Un....
Pour le c) comment exprimer ces suites en fonction de n ? On ne l'a jamais fait avec des suites récurrentes et j'ai peur que ce ne soit pas aussi simple qu'une suite dans le style Un=n+1.....
Pour le reste, si les suites sont exprimées en fonction de n, ça devrait aller, mais il faut les exprimer en fonction de n !

Merci d'avance pour votre aide !

[titine]

Exercice 2 :
Soit U la suite définie :
pour tout n supérieur ou égal à 0 par son premier therme Uo = 1/2
Attention ! Therme avec un h, c'est pour les thermes romains !
Pour une suite c'est un terme.
par Un+1 = Un / (1+2xUn)

2. Soit V la suite définie :
pour tout n supérieur ou égal à 0
par Vn = 1/Un + 1


a) calculer les trois premiers termes de la suite v. Que peut-on conjecturer ?

b) Montrer que la suite V est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme

Pour a) tu calcules V0= 1/U0 +1
V1 = 1/U1 + 1
V2 = 1/U2 + 1
Tu remarques que V1 = V0 + 2 et V2 = V1 + 2
On peut donc émettre l'hypothèses que la suite V est arithmétique de raison 2.

Pour b) on veut montrer que V est une suite arithmétique, c'est à dire que V(n+1) = V(n) + r
D'accord ?
On a : Vn = 1/Un + 1
Donc V(n+1) = 1/U( n+1) + 1
Or U(n+1) = Un / (1+2xUn)
Donc V(n+1) = 1/[Un / (1+2xUn)] + 1
= (1 + 2 Un)/Un + 1
= (1 + 2Un + Un)/Un
= (1 + 3Un)/Un
= 1/Un+ 3
= 1/Un + 1 + 2
Or 1/Un + 1 = Vn
Donc V(n+1) = Vn + 2
Ce qui prouve que la suite V est une suite arithmétique de raison 2.
Reprends calmement mon calcul et dis nous si tu as compris.

[JackyJacky]

Merci titine ! Effectivement pour le 2. b c'est beaucoup mieux comme ça qu'avec la formule Un+1 - Un.......
Par contre, là où je bloque encore, c'est au moment où il est demandé d'exprimer Vn et Un en fonction de n... Il faudrait déjà pouvoir exprimer Un en premier, mais le fait que ce soit une suite récurrente pose problème... je n'ai pas d'autre idée qu'un calcul sans fin qui consisterait à remplacer jusqu'à l'infini Un+1 par Un, et lui même par Un-1................

[titine]

V est une suite arithmétique de 1er terme V0 = 3 et de raison 2.
On peut en déduire que Vn = 3 + 2n
Car tu as du voir que pour une suite arithmétique Vn = V0 + n*r
D'accord ?

Ensuite, pour Un.
On a Vn = 1/Un + 1
Donc 1/Un = Vn - 1
Donc Un = 1/(Vn - 1)
Comme Vn = 3 + 2n alors Un = 1/(3 + 2n - 1) = 1/(2 + 2n)

Soit U la suite définie :
pour tout n supérieur ou égal à 0 par son premier terme Uo = 1/2
par Un+1 = Un / (1+2xUn)
1.
a) Calculer les trois premiers termes. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?Justifier.

Comme tu l'as remarqué elle n'est pas arithmétique.
Si tu as fait des recherches tu as du voir qu'une suite est géométrique si on passe d'un terme au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre. C'est à dire si U(n+1) = Un * q
Exemples : 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 ; .... suite géométrique de 1er terme 3 et de raison 2
Ou : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; .... suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 2.
Ici U0 = 1/2 ; U1 = 1/4 ; U2 = 1/6
On remarque que U1 = U0 * 1/2
Mais U2 n'est pas égal à U1 * 1/2 car 1/4 * 1/2 = 1/8 et pas 1/6
D'accord ?
Donc la suite n'est pas non plus géométrique.

[annick]

Je lis ton sujet en passant et j'avoue que j'ai adoré ton :
" nous ne connaissons pas les suites geographiques "
Je ne me moque pas, mais pourquoi ne pas partager un bon fou rire ?
Comme quoi les maths peuvent aussi apporter de bons moments de détente.

[JackyJacky]

Problème de correcteur xD je n'avais même pas remarqué !
En tout cas merci encore titine et pour la fin je devrait y arriver !