Integrale suites de fonctions

[whateverr]

salut
j'ai quelques lacunes concernant les intégrales et un peu d'aide serait très appréciée
je voudrais savoir pourquoi la limite de l’intégrale de fn(x)=(sinx)^n entre [0;pi/2] serait égale à 0
ce qui me fait penser c'est le fait que fn(x) converge vers 1 si x=pi/2 et pourquoi cela ne pose pas de problèmes.
merci d'avance.

[Ben314]

Salut,
Trace les courbes des fonctions fn pour quelques valeurs de n (jusqu'à une vingtaine) pour visualiser pourquoi la surface sous la courbe d'une fonction (positive) peut tendre vers 0 alors que la fonction elle même ne tend pas vers 0 pour tout les x de l'intervalle d'intégration.

Sinon, concernant la preuve, il y a des tas de façon de procéder. L'une de celles qui me semble le plus proche du dessin consiste à montrer que, pour epsilon> fixé, l'intégrale de 0 à pi/2-epsilon est inférieur à (pi/2-epsilon)*(sin(pi/2-epsilon))^n (par croissance de la fonction), or cette quantité tend vers 0 lorsque n->oo donc il existe N telle qu'ell est <epsilon pour n>N. Et concernant le reste de l'intégrale, à savoir de pi/2-epsilon à pi/2, il est majoré par epsilon vu que les fn sont <=1.
En bref, tu montre que l'aire sous la courbe est contenue dans la réunion de deux rectangles : le premier de hauteur très petite et le deuxième de largeur très petite.

[pascal16]

Je me rappelle de l'étude de ce type de fonction sur 2 chapitres différents

Quand n augmente, la fonction se rapproche de l'axe des abscisses sauf en pi/2. Il y a en fait convergence simple vers la fonction qui vaut 0 de [0 à pi/2[ et 1 en pi/2 (d'où la perte de continuité possible en convergence simple).

Paramétrée en 2D, elle converge "uniformément" vers une fonction en forme de L pivoté, c'est ce qu'on voit apparaître quand on la trace.

[whateverr]

merci à vous
néanmoins je reste un peux perdu dans le corrigé il semble que cette intégrale vaut 0 comme si c'était quelque chose d'évident sans prouver quoi que ce soit ..

[pascal16]

Ce n'est pas simple, mais une fois qu'on a tracé les courbes et qu'on les voit se rapprocher du 'L' , on comprends la démarche de Ben. On ne sait pas majorer fn mieux que par 1 car fn(pi/2)=1. Il faut donc découper en 2 l'intervalle [0;pi/2] et c'est loin d'être évident.


Les rectangles en visuel :
on va se mettre à 90% de la longueur entre 0 et pi/2
places toi en 0.9*pi/2
prenons alpha=0.01
il existe n assez grand tel que (sin(0.9*pi/2))^n<0.01
et dans ce cas, pour tout nombre entre 0 et 0.9*pi/2, (sin(0.9*pi/2))^n<0.01
donc l'intégrale de 0 à 0.9*pi/2 est inférieure à 0.01*0.9*pi/2 (le premier rectangle, très plat)
et de 0.9*pi/2 à pi/2 l'intégrale est inférieure à (0.1*pi/2) *1 (le vertical)

si on veut plus petit comme intégrale,
on va se met à 99% de la longueur entre 0 et pi/2
le nouveau n va être bcp plus grand.

exemple pour guider la vraie démo :
rappel, la fonction est positive, son intégrale aussi.
on veut trouver n pour que l'intégrale soit inférieure à 0.001
on coupe en 2 : deux morceaux < 0.000 5
pour le second rectangle (x proche de pi/2, f(x) proche de 1), on majore la fonction par 1
donc l'intégrale de (pi/2-0.000 5) à pi/2 est inférieure à 0.0005

chaque fn est croissant, elle est majorée sur [0; pi/2-0.000 5] par fn(pi/2-0.000 5)
on a fn(pi/2-0.000 5)=(sin(pi/2-0.000 5))^n
or 0<sin(pi/2-0.000 5)<1 donc, il existe n tel que (sin(pi/2-0.000 5))^n < 0.000 5/(pi/2-0.000 5)
c'est un résultat des suites géométriques de raison 0<r<1
donc l'intégrale de 0 à pi/2-0.000 5 est inférieur à 0.000 5/(pi/2-0.000 5)*(pi/2-0.000 5) = 0.000 5

au final, il existe n tel que notre intégrale sur [0;pi/2] soit inférieures à 0.0005 + 0.0005=0.001

remplace 0.001 par alpha aussi petit que tu veux et tu as la vraie démo.

[Lostounet]

On ne peut pas utiliser un théorème de convergence dominée ou un truc du style?

Il est vrai qu'on n'a pas convergence simple sur tout l'intervalle... mais un point n'est-il pas de mesure nulle?

[pascal16]

c'est pas évident à première vue, sin(x) est concave et il faut une fonction qui ne dépasse pas 1 tout en étant plus grande que sin(x).

[whateverr]

merci à vous tous je me casserai la tête pour mieux comprendre votre explication quand j'aurais le temps merci beaucoup!

[Lostounet]

c'est pas évident à première vue, sin(x) est concave et il faut une fonction qui ne dépasse pas 1 tout en étant plus grande que sin(x).

Hein?

Il suffit de dominer sinus par n'importe quelle fonction intégrable sur l'intervalle comme par exemple la fonction constante de valeur 1.

On a convergence simple presque partout sur l'intervalle vers la fonction nulle donc la limite est bien nulle. Je vois pas en quoi on a besoin de concavité... mais si tu veux tu peux l'utiliser pour majorer par x.

[pascal16]

tu as raison, j'étais parti dans un encadrement.

le but était ici de comprendre pourquoi même avec f(pi/2)=1, on avait une intégrale nulle.
Quand une fonction est continue et positive, si son intégrale est nulle, c'est que c'est la fonction nulle.

Ici, la limite des fn est une fonction non continue qui vaut 0 sur [0;pi/2[ et 1 en pi*/2.

[arnaud32]

a savoir si le théorème de convergence dominée fait parti des outils disponible ou pas.
ici il y a une démonstration directe assez simple qui est valable même sans connaissance de la théorie de la mesure.