Fonction du second degré

[fannydu311]

J'ai un DM à rendre dont l'intitulé est :

On considère un rectangle ABCD tel que AB = CD = 5cm et BC = DA = 3cm. On place sur le contour de ce rectabgle quatres points I, J, K et L tels que AI = BJ = CK = DL.

On me pose la question suivante : "Montrer que l'aire de IJKL est une fonction du second degré". Je sais par ma connaissance qu'une fonction du second degré ce résume à ax²+bx+c. Mais je n'arrive pas à trouver de calcul me permettant d'arriver à cette fonction. Merci de votre aide !

[laetidom]

Bonjour,

Tu as fait une figure ?

Si AI = x

Tu connais l'aire ABCD

et ABCD - AIL - IBJ - JKC - LKD = IJKL demandé

[fannydu311]

Merci de votre réponse, la figure était directement sur le policopié, mais même sans que AI = x je connais l'aire de ABCD non ?
Donc ça nous ferait : aire ABCD = 5*3 = 15
ensuite : 15 - ((x*3-x)/2) * 4) ?

[fannydu311]

J'ai continué et au final j'ai trouvé 15-(12x-4x²) mais le problème c'est que j'ai des - et pas des +, comment je pourrai faire ?
Merci de votre aide

[laetidom]

J'ai continué et au final j'ai trouvé 15-(12x-4x²) mais le problème c'est que j'ai des - et pas des +, comment je pourrai faire ?
Merci de votre aide

Sauf erreur, j'ai trouvé qua l'aire IJKL =

Refais ton calcul . . . et dis-nous si tu retombes sur le mien (j'ai pu me tromper . . .)

[fannydu311]

J'ai donc recommencé suite à votre conseil et j'ai trouvé 15-4x... mais il me semble que je me suis trompée dans la fonction de base, ce n'est pas plutôt : 15 - ( x * ( 3 - x ) ) * 4 ?

[laetidom]

Sauf erreur, j'ai fait

avec cette figure :


Est-ce la figure de l'énoncé ? . . .



DEF Aire triangle :

[fannydu311]

Bonjour, oui oui, vous avez raison, c'est moi qui partais avec une mauvaise formule, c'est pour ça que je n'avais pas le bon résultat. J'ai donc réessayé avec la votre et j'ai bien trouvé 2x²-8x+15. J'ai donc ma fonction du second degré. Merci beaucoup, et oui, la figure que vous avez faites est bien celle de l'énoncé. Mon professeur me pose une dernière question qui est la suivante : "Déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale" et je vous avoue que je n'ai pas compris la question...

[laetidom]

Bonjour, oui oui, vous avez raison, c'est moi qui partais avec une mauvaise formule, c'est pour ça que je n'avais pas le bon résultat. J'ai donc réessayé avec la votre et j'ai bien trouvé 2x²-8x+15 ====> Superbe !!. J'ai donc ma fonction du second degré. Merci beaucoup, et oui, la figure que vous avez faites est bien celle de l'énoncé. Mon professeur me pose une dernière question qui est la suivante : "Déterminer la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale" et je vous avoue que je n'ai pas compris la question...

L'équation du second degré 2x² - 8x + 15 a une courbe représentative de la fonction qui ressemble à ? . . . une parabole, non ? . . . et une parabole ça monte puis ça descend, donc il faut trouver le x correspondant au sommet de la courbe . . . mais vu que "a"> 0 (avec 2) on a un minimum et non un maximum, non ? . . . :

[fannydu311]

Donc il suffit que je fasse une courbe representative de la fonction 2x²-8x+15 et de trouver la valeur maximale ?

Merci

[laetidom]

Donc il suffit que je fasse une courbe representative de la fonction 2x²-8x+15 et de trouver la valeur maximale ?

Merci

En quelle classe es-tu ?

[fannydu311]

Je suis en seconde.
Et vous avez raison, on ne peut pas trouver la maximum, mais comment faire dans ce cas ?

[laetidom]

Excuse-moi Fanny, j'ai dû m'absenter en cours . . . désolé.


Pour ta question, la fonction représentant l'aire IJKL varie comme suit :

lorsque x tend vers f(x) tend vers

lorsque x tend vers f(x) tend vers ,

or x est compris entre 0 et 3 par définition sur la figure,

donc si x = 0 alors f(0) = 2.0² - 8.0 + 15 = 15 donc l'aire IJKL = 15 cm² (IJKL est alors le rectangle de départ ABCD)

donc si x = 3 alors f(3) = 2.3² - 8.3 + 15 = 9 donc l'aire IJKL = 9 cm²

tout en sachant qu'entre ces deux valeurs on passe par un minima qui se situe sur l'axe de symétrie de la parabole représentative de la fonction, axe dont on peut remarquer l'équation si l'on établit la forme canonique (vue en seconde) de f(x) qui est : :
équation de l'axe : x = 2

donc si x = 2 alors f(2) = 2.2² - 8.2 + 15 = 7 donc l'aire IJKL = 7 cm²

donc on part de 15, on décroit jusqu'à 7 puis on croit jusqu'à 9 :



Réflexion personnelle :
Pour répondre à la question, si on considère que IJKL reste à l'intérieur de ABCD, je dirais que l'aire IJKL est maxi pour x = 0 puisque dans cette configuration IJKL = ABCD,
si IJKL peut sortir de ABCD, alors 0 < x < 5 et on aurait f(5) = 25 !! . . .

[fannydu311]

Merci beaucoup pour toute ces informations mais je n'ai pas compris lorsque vous avez dit : "tout en sachant qu'entre ces deux valeurs on passe par un minima qui se situe sur l'axe de symétrie de la parabole représentative de la fonction, axe dont on peut remarquer l'équation si l'on établit la forme canonique (vue en seconde) de f(x) qui est :
équation de l'axe : x = 2". Et à la fin, pourquoi x serait compris entre 0 et 5 et pas seulement comme vous avez dit au dessus 0 et 3 ?
Merci énormément

[laetidom]

Tu as bien remarqué sur la courbe que l'on passe les points (0 ; 15) puis en bas (2 ; 7) et on remonte sur (3 ; 9)

Tu as vu en cours la forme canonique ?

[fannydu311]

Oui, mais pourquoi pas (1.5 ; 9) ?
Nous sommes entrain de le faire, on vient à peine de commencer le chapitre

[laetidom]

Oui, mais pourquoi pas (1.5 ; 9) ? Oui mais ce point fait partie de la courbe décroissante entre le point de départ (0;15) et le point mini (2;7)
alors que (3 ; 9) est le point extrême de la courbe croissante.
Nous sommes entrain de le faire, on vient à peine de commencer le chapitre : je te montre !

La réflexion finale est pour dire que je ne sais pas si IJKL est obligatoirement toujours dans ABCD . . .

car 0 < x < 3 sur la largeur de ABCD,
car 0 < x < 5 sur la longueur de ABCD,

[fannydu311]

Ah oui, je viens de comprendre, d'accord!!!!

Mais dans ce cas, le maximum de x est + l'infini ?

[laetidom]

Ah oui, je viens de comprendre, d'accord!!!! ====> Superbe !!

Mais dans ce cas, le maximum de x est + l'infini ? Dans le cas général oui mais appliqué à ton rectangle vu que 0 < x < 3 ou 0 < x < 5 . . .

[fannydu311]

Et lorsque je justifie ma réponse, je dois parler de la forme canonique ?