Développement Limité: Je bloque

[Tilu]

Bonjour

Comme je l'avais déjà dit dans d'autres postes, mes études sont très loin derrière moi, et même avec le support internet, certains trucs de maths me sont difficiles, comme le développments limités qui ne sont pas direct, d'où ma question.

Dans un exercice que je viens de faire, on arrive à une formule: , avec x>>>1.

Il se trouve que j'avais une valeur tellement simple pour x que je pouvais déduire directement le résultat numérique sans même une calculatrice. Cependant, la solution de l'exercice passait par un développement limité - que je n'arrive pas à retrouver - et je voudrais arriver à le comprendre: 1 -

Pourriez vous me montrer comment on arrive à ce résultat?

Merci par avance.

[Ben314]

Salut,
Comme toujours pour les D.L., 36 000 méthodes :

A) On se ramène à des D.L. "connus" en écrivant que (x²+1)/(x²-1)=(1+1/x²)/(1-1/x²) et pour avoir le D.L. de 1/(1-1/x²) lorsque x->oo on utilise le D.L. archi classique (séries géométrique) 1/(1-u)=1+u+u²+u^3+...+u^n+u^n.epsilon(u) pour u->0.

B) On fait la division des polynômes (dans l'ordre des puissances décroissante vu que x>>1 donc x²>>x ; x^3>>x², etc...)

C) Comme x->oo, on pose h=1/x (qui tend vers 0) et on pose f(h)=((1/h)²+1)/((1/h)²-1)=(1+h²)/(1-h²) qui a le bon gout d'être prolongeable et même C^oo en 0 donc on calcule les dérivées successives en 0 : f(0), f'(0), f''(0), etc pour trouver le D.L. de f en 0.

D) A la main complet :
- Lorsque x->oo (x²+1)/(x²-1) tend vers 1.
- Ensuite, (x²+1)/(x²-1)-1 = 2/(x²-1) qui est équivalent en +oo à 2/x².
- Ensuite, 2/(x²-1) - 2/x² = 2/(x²(x²-1)) qui est équivalent en +oo à 2/x^4.
- Ensuite, 2/(x²(x²-1)) - 2/x^4 = . . . etc

Là, et de loin, c'est le A) le plus rapide (ça se fait de tête).

[Tilu]

Merci. Tout est clair.

[pascal16]

Je trouve ta méthode D très belle de simplicité.