Recherche de primitive

[ayofk]

Bonjour, j'aimerais savoir s'il vous plaît la méthode pour trouver cette primitive:

[Ben314]

Salut,
Commencer bien évidement par mettre le polynôme du second degré sous forme canonique, puis factoriser la constante apparaissant comme "terme constant" et enfin faire un changement de variable.
Au final, tu tombe sur une fonction des de la forme dont les primitives sont standards et connues (fonctions inverse des fonction trigo. usuelles ou trigo hyperbolique)

[ayofk]

Ok d'accord merci.
Mais du coup que se passe t'il si on a un polynôme au numérateur ou bien une forme Q(x)+ au dénominateur???

[Ben314]

Déjà, les primitives, comme des tonnes d'autres trucs en math. (pour ne pas dire la majorité), on arrive pas toujours à avoir la forme explicite du résultat. Donc dans certain cas, on étudie la primitive sans avoir pu l'écrire sous forme simple à l'aide des "fonctions usuelles".

1) Concernant le cas P(x)/racine(ax²+bx+c), tu fait comme précisé dans le premier post de façon à avoir du ???/racine(+-1+-y) et vu que le changement de variable est affine, au numérateur tu as encore un polynôme.
Ton polynôme, tu le divise par racine(+-1+-y) et ça te coupe ton truc en deux :
- Le reste de la division te donne un morceaux de la forme (ax+b)/racine(+-x²+-1) qu'on sait "primitiver" vu qu'on connait des primitives de 1/racine(+-x²+-1) et de x/racine(+-x²+-1) (qui est racine(+-x²+-1) à un coeff près)
- Le quotient de la division donne un morceau de la forme Q(x)*racine(+-x²+-1) dans lequel tu fait un changement de variable "classique" x=cos(t) ou x=Ch(t) ou x=Sh(t) selon les signes du +-x et du +-1 et tu est ramené à intégrer un polynôme trigo (éventuellement hyperbolique) ce qu'on sait faire en linéarisant le polynôme.

2) Concernant le cas où tu as au dénominateur du Q(x)+racine(...), je sais pas si on arrive bien à exprimer une primitive avec les fonctions usuelles (en tout cas dans le cas Q quelconque)
Evidement, faut commencer par transformer la racine comme d'habitude par du racine(+-1+-x²) puis faire le changement de variable "classique" comme dans le 1) pour se ramener à un polynôme trigo. mais qui va être au dénominateur.
Ensuite, ça va dépendre de la tête du bidule : en théorie, en posant t=tan(theta/2) (ou Th(theta/2) dans le cas hyperbolique) tu va te ramener à une fraction rationnelle, mais le problème, ça va être de voir ensuite si on peut ou pas factoriser le dénominateur histoire d'aller plus loin...

[ayofk]

Ok d'accord c'est compris, c'est que dans tous les cas il faudra factoriser d'abord puis étudier correctement le résultat obtenu avant de se lancer. Par contre pour les fonctions hyperboliques je saisi pas un truc. On les applique de la même manière que les circulaires ou bien y a t-il un caractère précis que la fonction doit avoir pour pouvoir les utiliser??

[Ben314]

Si tu perle des "règles de Bioches", dans le contexte présent avec des racines carrés, ça n'a pas de sens : de toute façon tu as ton racine(+-1+-x²) qui t'impose un changement de variable pour faire "sauter" la racine :
- Avec racine(1-x²) faut prendre x=cos(t) ou x=sin(t) pour faire "sauter" la racine et éventuellement regarder le "contexte" (i.e. le reste) pour voir si l'un des deux est préférable (souvent c'est kif kif)
- Avec racine(1+x²) faut prendre x=Sh(t) ou à la rigueur x=tan(t) pour faire "sauter" la racine (idem : en fonction du contexte, l'un des deux peut éventuellement être préférable)
- Avec racine(x²-1) faut prendre x=Ch(t) ou à la rigueur x=1/cos(t) ou x=1/sin(t) pour faire "sauter" la racine (toujours en fonction du contexte)

De nouveau, comme pour les intégrales trigo., c'est en bouffant des exo. qu'on finit par comprendre vraiment "comment ça marche" et qu'on arrive à voir rapidement dans quel cas tel ou tel changement de variable est plus judicieux qu'un autre.
Dans le temps il y avait des bouquins entiers (épais...) entièrement dédiés aux calculs d'intégrales avec des listes de changement de variables "classiques" et les contextes dans lesquels ils s'avéraient utiles.

[ayofk]

Ok merci bien