Matrices, Licence 1

[nico10310]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice :

M3(R) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3, à coef. réels

Partie 1 :

Soit les matrices et
Objectif : Montrer que les équations suivantes dans M3(R) : ont respectivement 8,1 et 0 solutions.

Soient y1, y2 et y3 trois réels distincts. On pose
1) Montrer que M . = . M ssi M est diagonale avec M appartient à M3(R)
J'ai réussi cette question en montrant l'équivalence par calcul littéral

2) Soit M et A qui appartiennent à M3(R) et k à N*. Montrer que si alors M.A=A.M.
C'est sur cette question que je bloque ! Comment faire ?

3) Trouver la forme et les solutions explicites des équations.
J'ai bien trouvé tous les triplets de solution

Partie 2 :

Soient les matrices et
Objectif : Montrer que les équations suivantes dans M3(R) : ont respectivement 8,1 et 0 solutions à l'aide des résultats précédents.

1) Montrer que les valeurs propres de T_1 sont les réels 1,2 et 3.
J'ai réussi sans problème

2) On considère V1, V2 et V3 les vecteurs propres associés aux valeurs propres. Montrer que ces 3 vecteurs forment une base de R^3
J'ai réussi de même

3) Expliquer pourquoi si P désigne la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 dans la base canonique de R^3, alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.
Je suis capable de le montrer par le calcul, mais je ne sais pas comment l'expliquer sans faire de calculs

4) Soit M qui appartient à M3(R) et k à N*. Montrer que , ssi . En déduire le nombre de solutions des 2 premières équations.
Ici je bloque également, comment faire ?

Merci pour votre aide !

[eusebe78]

partie 1:
partie 2:
3) question équivalente: pourquoi T1 est diagonalisable? P étant la matrice de passage.
4)
On a en multipliant à droite et à gauche respectivement avec et:

[eusebe78]

Partie 1:
oui tu utilises le fait que la mutiplication des matrices est non-commutative. c'est à dire AB différent de BA, contrairement à la multiplication dans l'ensemble des réels (ab=ba).

Partie 2:
Définition sur wikipedia:

si une matrice admet une famille de vecteurs propres qui forment une base de l'espace des vecteurs colonnes alors cette matrice est diagonalisable. Il suffit de construire la matrice inversible formée par une juxtaposition de ces vecteurs, la matrice diagonale étant définie par la suite des valeurs propres associées.

La matrice de passage P "fait le passage" de la matrice T_1 à la matrice semblable la plus élémentaire,la matrice diagonale. Elle fait le changement de base B1 à B2.
"Tu changes d'univers quoi, tu vois les choses autrement, tu fais apparaitre une matrice plus facile à étudier"


Ce qui est un peu perturbant au départ,

P est une application de B2 vers B1 et non le contraire!

[nico10310]

D'accord merci.
Je vais faire tout ça et je reviens si j'ai des questions

[Ben314]

Salut,

3) Expliquer pourquoi si P désigne la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 dans la base canonique de R^3, alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.
Je suis capable de le montrer par le calcul, mais je ne sais pas comment l'expliquer sans faire de calculs

Concernant ce point là qui me semble pas super bien expliqué dans les post précédent, c'est effectivement un "résultat archi. classique" qu'il faudra finir par savoir "plus ou moins par cœur", mais il n'embpèche que ce n'est pas du tout compliqué à expliquer :
Le premier truc a voir, c'est que la relation à démontrer, à savoir équivaut à qui est mathématiquement parlant "moins intéressante", mais qui a le bon gout de ne faire intervenir que et pas
(par exemple si on veut vérifier à la main que et qu'on a pas calculé , c'est un énorme gain de temps de vérifier plutôt que )
Ensuite, vu que ta matrice elle est formée (en colonne) des 3 vecteurs colonne la matrice est en fait formée (en colonne) des 3 vecteurs (c'est la règle de calcul "ligne par colonne" du produit matriciel qui te dit ça) et comme les vecteurs sont les vecteurs propres de associées aux valeurs propres c'est que donc est formée des 3 vecteurs .
Et d'un autre coté, vu que la matrice est diagonale avec 1,2,3 sur la diagonale, tu vérifie que la règle "ligne par colonne" du produit matriciel te dit que, vu que formée de , c'est que est formée de .

[nico10310]

Ensuite, vu que ta matrice elle est formée (en colonne) des 3 vecteurs colonne la matrice est en fait formée (en colonne) des 3 vecteurs (c'est la règle de calcul "ligne par colonne" du produit matriciel qui te dit ça) et comme les vecteurs sont les vecteurs propres de associées aux valeurs propres c'est que donc est formée des 3 vecteurs .
Et d'un autre coté, vu que la matrice est diagonale avec 1,2,3 sur la diagonale, tu vérifie que la règle "ligne par colonne" du produit matriciel te dit que, vu que formée de , c'est que est formée de .

Merci Ben mais je n'arrive pas trop à comprendre ce que tu veux m'expliquer.

[Ben314]

Merci Ben mais je n'arrive pas trop à comprendre ce que tu veux m'expliquer.

ça (en rouge)

...alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.
Je suis capable de le montrer par le calcul, mais je ne sais pas comment l'expliquer sans faire de calculs

Ou si tu préfère, je répond à ça :

3) Expliquer pourquoi si P désigne la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 dans la base canonique de R^3, alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.

En considérant que le "expliquer pourquoi" signifie "sans faire de nouveau calculs".


Et si c'est pas clair, je t'inciterais plus que fortement à calculer "pour de vrai" les deux produits matriciels et pour bien comprendre que le premier correspond à des calculs que tu as déjà fait lorsque tu as cherché les vecteurs propres et que le deuxième et "couillon" (i.e. que multiplier à droite par une matrice diagonale, c'est une bête multiplication des colonnes de la matrice de départ)

[nico10310]

partie 1:
partie 2:
4)
On a en multipliant à droite et à gauche respectivement avec et:

Merci mais c'est que l'on veut montrer et non . Je ne comprends pas

[nico10310]

Merci Ben mais je n'arrive pas trop à comprendre ce que tu veux m'expliquer.

ça (en rouge)

...alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.
Je suis capable de le montrer par le calcul, mais je ne sais pas comment l'expliquer sans faire de calculs

Ou si tu préfère, je répond à ça :

3) Expliquer pourquoi si P désigne la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs V1, V2 et V3 dans la base canonique de R^3, alors on a la relation : avec D_1 la matrice de la partie 1.

En considérant que le "expliquer pourquoi" signifie "sans faire de nouveau calculs".

D'accord, je veux bien que tu répondes à la 2ème option et je vais bien aussi faire les calculs

[Ben314]

4) Soit M qui appartient à M3(R) et k à N*. Montrer que , ssi . En déduire le nombre de solutions des 2 premières équations.

Ca, tu peut effectivement le faire "avec de la théorie", mais à mon avis, dans un premier temps, il est bien plus inteligent de le faire "à la main" pour comprendre :

XXXXXXXX.
XXXXXXXX.
XXXXXXXX.
Donc

[nico10310]

Ah oui d'accord
Merci beaucoup !

[idriss789456]

bonjour nico , concernant ton exercice j'ai le même à ressouder et je bloque sur la partie 1 n°4 et sur la partie 2 n°2 pourrais tu m'aides stp .