Optimisation-Première S

[Ben314]

Perso, ce morceau là :

de plus lorsque T rend vers D alors M tend vers D et N tend vers C et s(T) tend vers B = s(D) ainsi que s(M) et N tend vers s(C) = C et MN = s(M)s(N) tend vers 1
donc MN est minimal lorsque T = s(T)

Je comprend pas trop d'où il sort : si je suis bien le raisonnement, tu as une fonction qui prend la même valeur aux deux extrémités d'un intervalle et hop, tu en déduit que le minimum est au milieu -> très louche comme raisonnement.
Même en "peaufinant un peu", c'est à dire en montrant que la fonction est symétrique par rapport à la verticale qui coupe l'intervalle en deux, ça ne prouverais pas que le minimum est au milieu (intuitivement parlant, on se dit qu'il est probable qu'il soit là, mais c'est pas du tout sûr)

[chan79]

salut
une autre tentative (j'ai pas lu en détail ce qui précède...)
tu poses DM=x et BN=y
DM=MT ( ça se montre avec Pythagore)
de même BN=NT
MN=x+y
MC=1-x
CN=1-y
Pythagore dans CMN te donne
x+y=1-xy
y=(1-x)/(1+x)
et donc
x+y=x+(1-x)/(1+x)=(1+x²)/(1+x)
tu étudies cette fonction x---> (1+x²)/(1+x)
et tu arrives vite au résultat

[zygomatique]

1/ l'histoire du T tend vers D ou B c'est juste pour dire qu'on a un maximum ... (on a même une "situation critique" : divergence)

2/ si MN^2 = f(t) avec t = (BAT) (mesure de l'angle sur ma figure) alors :

2a/ f est continue et dérivable (fraction rationnelle en cos et sin dont le dénominateur ne s'annule pas sur ]0, pi/2[)

2b/ f(t) = f(pi/2 - t) par symétrie de la figure

3/ f(t) = f(pi/2 - t) donc f('(t) = - f'(pi/2 - t) (*)

soit pour t = pi/4 on a f'(t) = -f'(t) donc f'(pi/4) = 0

donc il faut regarder ce qui se passe en cette valeur qui semble être un bon candidat :

4/ indépendamment du 1/ et ce quelle que soit la variation de f sur ]0, pi/4] par symétrie on a une variation opposée sur [pi/4, pi/2] d'après (*)



mais bien sur je suis d'accord que ce n'est pas suffisant ...

il reste à justifier que f est monotone sur ]0, pi/4] ...

[poutine]

salut
une autre tentative (j'ai pas lu en détail ce qui précède...)
tu poses DM=x et BN=y
DM=MT ( ça se montre avec Pythagore)
de même BN=NT
MN=x+y
MC=1-x
CN=1-y
Pythagore dans CMN te donne
x+y=1-xy
y=(1-x)/(1+x)
et donc
x+y=x+(1-x)/(1+x)=(1+x²)/(1+x)
tu étudies cette fonction x---> (1+x²)/(1+x)
et tu arrives vite au résultat

D'accord j'ai compris sauf en rouge où je comprends pas comment x+(1-x) fait (1+x²) alors que normalement on fait x+(1-x)=x+1-x=1
ce qui ne rend pas la même équation du coup.
Merci.

[poutine]

http://imageshack.com/a/img923/8933/r6XwV4.png
Voici le schéma de ce que je vais vous proposer :
D'après Pythagore :
AC²=AD²+DC²
AC²=1²+1²
AC²=2
√(AC²)=√2
AC=√2
On a donc : OC=AC-1
OC=√2-1
On a donc un triangle isocèle rectangle donc OC=OM
D'après Pythagore:
MC²=OM²+OC²
MC²=(√2-1)²+(√2-1)²
MC²=(-2√2+3)+(-2√2+3)
MC²=-4√2+6
√(MC²)=√(-4√2+6)
MC=-√2+2 (environ 0,59)
Donc :
DM'=1-(-√2+2)
DM'=√2-1

Voilà ce que j'ai fais, je l'ai montré à mon prof de math et il m'a dit que c'était ça mais qu'il manquait un petit quelque chose pour que cela prouve que c'est la valeur minimale. Malheureusement je ne trouve pas du tout qu'est -ce qu'il manque. J'ai fais plusieurs test des fois un peu au pif en espérant que cela suive une logique et j'en suis arrivé là mais actuellement je ne vois pas comment faire pour que cela prouve bel et bien que cette longueur est minimale. Pourriez-vous m'aidez une dernière fois je sens que la fin approche !

[chan79]

D'accord j'ai compris sauf en rouge où je comprends pas comment x+(1-x) fait (1+x²) alors que normalement on fait x+(1-x)=x+1-x=1
ce qui ne rend pas la même équation du coup.
Merci.

salut

[siger]

bonsoir

ou:
DM =MT (tangentes au cercle issues de M) et de meme NB = NT d'ou MN = x+y
avec A = angle MAD et b = angle NAB
tan (a) = x et tan(b)=y
mais 2(a+b) = pi/2
d'ou tan(b) = tan (pi/4-a) = (1+tan (a))/(1 - tan(a)) = (1+x)/(1-x) =y
.x+y= .......

[Pseuda]

Bonjour,

Une solution géométrique qui n'utilise pas l'étude d'une fonction (ni les transformations).

Comme DM=MT, AD=AT, et ADM et ATM rectangles, aire (ADM) = aire (ATM). De même aire (ABN) = aire (ATN).

Le minimum de MN = MT+TN = DM+BN est atteint pour aire (ADM) + aire (ABN) minimum (car égale à (DM+BN)/2), donc pour l'aire du polygone ADMNB minimum, soit pour aire (MNC) maximum, c'est-à-dire MC*NC maximum (on a d'ailleurs MN = 1-(MC*NC)/2), soit encore (-2 MC*NC) minimum.

Comme (MC-NC)²=MC² + CN² - 2 MC*NC = MN² - 2 MC*NC, et que le minimum de MN est atteint simultanément pour MN² et (-2MC*NC) tous les deux minimum, il est donc atteint pour (MC-NC)² minimum soit =0, soit MC=NC.

=> le minimum est atteint pour DM=BN (par soustraction avec 1) => MT=NT => T milieu de [MN] => (CT) perpendiculaire à (MN) => (AT) // (CT) => A, C, T alignés.