Optimisation-Première S

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poutine
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Optimisation-Première S

par poutine » 26 Mar 2017, 14:41

Bonjour,

Alors voilà j'ai un devoir maison sur l'Optimisation à faire et je n'y arrive pas. J'ai cherché 2 heures hier des "pistes" pouvant me premettre de répondre à cette énoncé mais sans succès. Je ne sais par où commencer pour répondre.

Enoncé:

ABCD est un carré de côté 1. c est le quart de cercle de centre A, de rayon AB contenu dans le carré.

http://imageshack.com/a/img922/1650/9LVkVK.png

T est un point de c distinct de B et D. La tangente en T à c coupe le segment [DC] en M et le segment [BC] en N. On note x = DM.

Pour quelle position du point M, la longueur MN est-elle minimale ?

Voici le problème que je n'arrive pas, je ne sais par où commencer si vous pouviez m'aider je vous en serais très reconnaissant.

Merci.



pascal16
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Re: Optimisation-Première S

par pascal16 » 26 Mar 2017, 14:48

façon calculatoire TS :
-> écrire la forme générale de l'équation d'un cercle de centre (0;1) et de rayon 1.
-> déduire l'équation y=f(x) qui bous intéresse dans ce cas
-> en déduire l'équation de la tangente
-> en déduire les coordonnées de M et N
-> étudier la fonction MN=f(x).

Il y a peut-être plus court, mais c'est très formateur pour le BAC

poutine
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Re: Optimisation-Première S

par poutine » 26 Mar 2017, 14:52

pascal16 a écrit:façon calculatoire TS :
-> écrire la forme générale de l'équation d'un cercle de centre (0;1) et de rayon 1.
-> déduire l'équation y=f(x) qui bous intéresse dans ce cas
-> en déduire l'équation de la tangente
-> en déduire les coordonnées de M et N
-> étudier la fonction MN=f(x).

Il y a peut-être plus court, mais c'est très formateur pour le BAC

Merci je vais essayer de faire l'exercice en suivant vos instructions et je vous tiendrai au courant. :D

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Re: Optimisation-Première S

par poutine » 26 Mar 2017, 15:39

pascal16 a écrit:façon calculatoire TS :
-> écrire la forme générale de l'équation d'un cercle de centre (0;1) et de rayon 1.
-> déduire l'équation y=f(x) qui bous intéresse dans ce cas


Alors je suis de nouveaux bloqué (je ne suis pas très malin je sais), pour la forme générale j'ai :
-->(x-0)²+(y-1)²=1²
Après pour déduire l'équation y=f(x) je ne comprends pas comment faire j'ai essayé de passer des trucs d'un côté et d'un autre et cela m'a donné du :
-->x²=-y²+2y
Je pense que c'est faux mais j'ai essayé 3 manières différentes et à chaque fois je tombe sur ce résultat. je vais mettre les détails d'une manière :
-->(x-0)²+(y-1)²=1²
(x²-2*x*0+0²)+(y²-2*y*1+1²)=1²
x²+(y²-2y+1)=1
x²+y²-2y+1-1=1-1
x²+y²-2y+2y=0+2y
x²+y²-y²=2y-y²
x²=2y-y²

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Re: Optimisation-Première S

par Lostounet » 26 Mar 2017, 16:00

poutine a écrit:
pascal16 a écrit:façon calculatoire TS :
-> écrire la forme générale de l'équation d'un cercle de centre (0;1) et de rayon 1.
-> déduire l'équation y=f(x) qui bous intéresse dans ce cas


Alors je suis de nouveaux bloqué (je ne suis pas très malin je sais), pour la forme générale j'ai :
-->(x-0)²+(y-1)²=1²
Après pour déduire l'équation y=f(x) je ne comprends pas comment faire j'ai essayé de passer des trucs d'un côté et d'un autre et cela m'a donné du :
-->x²=-y²+2y
Je pense que c'est faux mais j'ai essayé 3 manières différentes et à chaque fois je tombe sur ce résultat. je vais mettre les détails d'une manière :
-->(x-0)²+(y-1)²=1²
(x²-2*x*0+0²)+(y²-2*y*1+1²)=1²
x²+(y²-2y+1)=1
x²+y²-2y+1-1=1-1
x²+y²-2y+2y=0+2y
x²+y²-y²=2y-y²
x²=2y-y²


Salut,
Ton but est d'avoir y=... (en fonction de x) donc tu devrais procéder de manière analogue mais avec y plutot.
(x-0)²+(y-1)²=1²

Donc (y-1)^2=1-x^2

Maintenant on sait qu'on peut avoir:
Soit y-1=racine(1-x^2) ou bien y-1=-racine(1-x^2)

Donc y=racine(1-x^2)+1 ou bien y=-racine(1-x^2)+1

Tu dois choisir parmi ces deux courbes laquelle s'applique à ton exercice (tu peux les tracer sur Geogebra par exemple)

Ps: désolé je suis sur mon portable
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Re: Optimisation-Première S

par Ben314 » 26 Mar 2017, 16:14

Salut,
Sinon, il y a aussi moyen de faire un peu de géométrie :
- Comme la droite (AM) est un axe de symétrie du cercle, l'image de la tangente (MD) au cercle par la réflexion d'axe (AM) est de nouveau une tangente au cercle donc c'est (MT) donc (en longueurs) MT=MD=x
- De même, si on note y=NB, on a NT=NB=y et on en déduit que MN=x+y.
- Ensuite, les triangles rectangles ADM et AMT ont tout les deux comme aire x/2, les triangles rectangles ABN et ANT ont tout les deux comme aire y/2 et le triangle rectangle NCM a pour aire (1-x)(1-y)/2. Comme la somme de toutes ce aires donne l'aire du carré, on a x+y+(1-x)(1-y)/2=1 c'est à dire 2(x+y)+(1-x-y+xy)=2 soit xy+x+y=1.
- On a donc y=(1-x)/(1+x) et MN=x+(1-x)/(1+x)=(1+x²)/(1+x) = f(x)
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Re: Optimisation-Première S

par poutine » 26 Mar 2017, 16:31

Lostounet a écrit:Salut,
Ton but est d'avoir y=... (en fonction de x) donc tu devrais procéder de manière analogue mais avec y plutot.
(x-0)²+(y-1)²=1²

Donc (y-1)^2=1-x^2

Maintenant on sait qu'on peut avoir:
Soit y-1=racine(1-x^2) ou bien y-1=-racine(1-x^2)

Donc y=racine(1-x^2)+1 ou bien y=-racine(1-x^2)+1

Tu dois choisir parmi ces deux courbes laquelle s'applique à ton exercice (tu peux les tracer sur Geogebra par exemple)

Ps: désolé je suis sur mon portable

D'accord merci bien je vais essayer de faire la suite maintenant voir si j'y arrive. Merci encore je vous tiendrai au courant. :)

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Re: Optimisation-Première S

par poutine » 26 Mar 2017, 16:38

Ben314 a écrit:Salut,
Sinon, il y a aussi moyen de faire un peu de géométrie :
- Comme la droite (AM) est un axe de symétrie du cercle, l'image de la tangente (MD) au cercle par la réflexion d'axe (AM) est de nouveau une tangente au cercle donc c'est (MT) donc (en longueurs) MT=MD=x
- De même, si on note y=NB, on a NT=NB=y et on en déduit que MN=x+y.
- Ensuite, les triangles rectangles ADM et AMT ont tout les deux comme aire x/2, les triangles rectangles ABN et ANT ont tout les deux comme aire y/2 et le triangle rectangle NCM a pour aire (1-x)(1-y)/2. Comme la somme de toutes ce aires donne l'aire du carré, on a x+y+(1-x)(1-y)/2=1 c'est à dire 2(x+y)+(1-x-y+xy)=2 soit xy+x+y=1.
- On a donc y=(1-x)/(1+x) et MN=x+(1-x)/(1+x)=(1+x²)/(1+x) = f(x)

Je ne comprends pas les endroits en rouge désolé. Si ça ne vous dérange pas, pourriez-vous m'expliquer ces points s'il vous plaît ? Je ne sais pas ce qu'est l'image d'une tangente et je ne comprends pas pourquoi on utilise l'aire du carré. Merci. :)

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Re: Optimisation-Première S

par poutine » 26 Mar 2017, 17:45

Je suis encore désolé j'arrive à me bloquer partout c'est incroyable...
pour l'instant je suis à :
-->(x-0)²+(y-1)²=1²
-->(y-1)²=1²-(x-0)²
(y-1)²=1-x²
y-1=-√(1-x²)
y=-√(1-x²) +1
f(x)=-√(1-x²) +1
-->f'(x)=1/2*(-√(1-x²))
Une équation à la tangente T :
y=f'(a)*(x-a)+f(a)
Voilà et à partir de là je n'arrive pas à savoir quelle valeur je dois donner à "a" ?

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zygomatique
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Re: Optimisation-Première S

par zygomatique » 26 Mar 2017, 19:44

salut

soit s la réflexion d'axe (AC).

alors par symétrie de la figure par rapport à cette droite on en déduit que s(M)s(N) = MN lorsqu'on considère les tangentes en T et s(T)

de plus lorsque T rend vers D alors M tend vers D et N tend vers C et s(T) tend vers B = s(D) ainsi que s(M) et N tend vers s(C) = C et MN = s(M)s(N) tend vers 1

donc MN est minimal lorsque T = s(T)

soit t un argument de T dans le repère (A, B, D)

l'équation de la tangente en T au cercle est (x - cos t)cos t + (y - sint) sin t = 0 <=> x cos t + y sin t = 1

(AT est un vecteur normal à la tangente donc AT.TM = 0 (produit scalaire) ...)

si T = s(T) alors t = pi/4 et l'équation de la tangente est x + y = r(2) (r est la racine carrée)

elle coupe la droite d'équation x = 1 en M(1, r(2) - 1) et la droite d'équation y = 1 en N(r(2) - 1, 1)

la distance minimale est donc
Fichiers joints
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Optimisation-Première S

par pascal16 » 26 Mar 2017, 22:17

Les solutions géométriques sont plus rapides dans ce cas.

"y=f'(a)*(x-a)+f(a)
Voilà et à partir de là je n'arrive pas à savoir quelle valeur je dois donner à "a" ?"

c'est toujours le même problème dans les tangentes.
en fait ton "a" est le "x' du départ; c'est la variable que l'on fixe pour la tangente, c'est alors un paramètre

et y=f'(a)*(x-a)+f(a) est l'équation d'une droite, la tangente à la courbe au point (a;f(a))

Perso, je fais écrire Y=f'(a)*(X-a)+f(a)
Y et X en majuscule sont ceux de la tangente

Pour M, ses coordonnées sont(XM;0) et pour N, c'est (1; YN)
tu met en équation pour avoir M et N
tu as ensuite MN.
comme MN est une quantité positive, tu peux enlever la grande racine car la fonction racine est croissante sur R+, elle conserve l'ordre. Il faut ensuite étudier MN², pas facile

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Re: Optimisation-Première S

par Lostounet » 26 Mar 2017, 23:17

pascal16 a écrit:Les solutions géométriques sont plus rapides dans ce cas.


Qui a envie de minimiser la fonction:



? :evil: (sauf erreur)
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Re: Optimisation-Première S

par Ben314 » 27 Mar 2017, 00:40

Si tu veut le faire que par du calcul (ce qui, comme le dit pascal16 est très formateur), en prenant comme "paramètre" l'abscisse du point T, ça semble quand même bien compliqué.
Et ça semble compliqué du fait que l'équation cartésienne (i.e. y=f(x)) du cercle ne semble pas le plus adapté au problème, principalement pour le calcul de la tangente où c'est un sacré caca.
Mais il faut avoir essayé pour s'en rendre compte, donc ce n'est pas du temps perdu.

A la limite, pour rester dans le "pur calculatoire", mais qui se goupille un peu mieux, tu peut faire comme ça :

1) Tu prend comme "paramètre" la longueur m=DM (qui est noté x sur ton dessin, mais c'est une mauvaise idée vu que la lettre x, on va la garder pour écrire les équations). On considère donc 0<m<1 comme "connu".

2) L'équation d'une droite (presque) quelconque D, c'est y=ax+b et pour que D passe par M:(m,0) il faut que 0=am+b, c'est à dire que b=-am et donc que l'équation soit y=ax-am soit y=a(x-m) avec a quelconque (c'est parfaitement normal qu'il y ait un paramètre en plus vu qu'il y a des tonnes de droites passant par M).
Reste à trouver quelle valeur prendre pour a (en fonction de m) pour que D soit tangente au cercle.

3) L'équation du cercle qui t'intéresse, c'est x²+(y-1)²=1 soit encore x²+y²-2y=0 et chercher l'intersection du cercle avec D, ça revient à remplacer y par a(x-m) dans cette équation, c'est à dire résoudre x²+a²(x-m)²-2a(x-m)=0 qui donne, après simplification, l'équation du second degré (a²+1)x²-2a(am+1)x+am(am+2)=0. Or pour que la droite soit tangente au cercle, il faut que cette équation ait une unique solution, c'est à dire que son discriminant soit nul. Or
= 4a²(am+1)²-4 (a²+1)am(am+2) = ... = -4a(am²-a+2m)
Donc il faut avoir soit a=0, mais ça correspond à une droite horizontale, c'est à dire à la droite (DM) qui est déjà une tangente au cercle mais qui ne nous intéresse pas, soit am²-a+2m=0, c'est à dire a=2m/(1-m²) qui correspond à la droite qui nous intéresse.

Bilan : la droite D passant par M:(m,0) et tangente au cercle a pour équation y=2m(x-m)/(1-m²).

Je te laisse finir, c'est à dire trouver les coordonnées de N puis la distance de M à N (évidement tout est à écrire en fonction de m)
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Re: Optimisation-Première S

par Lostounet » 27 Mar 2017, 01:11

Effectivement Ben ton calcul est plus efficace (j'avais commencé comme ça mais j'ai voulu forcer le coup au point T). Et ça a donné des horreurs (et c'est assez épuisant d'exprimer MN en fonction de la position de T(t)).
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Re: Optimisation-Première S

par Ben314 » 27 Mar 2017, 01:32

Il me semble qu'on en a parlé il y a pas très longtemps :
Les repère cartésien et les y=f(x), c'est tellement puissant qu'on "rate" souvent les rares cas comme ici où ce n'est pas efficace du tout...
Par contre, il est tout a fait possible (et les calculs sont très simples) de paramétrer en partant au départ du point T, sauf qu'il faut pas le faire en coordonnées cartésiennes, mais en coordonnées polaire : xT=cos(theta) et yT=1-sin(theta).
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Re: Optimisation-Première S

par Lostounet » 27 Mar 2017, 01:54

Oui je m'en souviens...!

Mon objectif était surtout de proposer à l'auteur du fil des outils de lycée (du même acabit que ce que tu as fait à la fin) compréhensibles par un TS (car tu le sais bien, on ne fait plus de géométrie quasiment (donc pas de transformations)... le seul moment où j'en ai fait c'est... maintenant avec la théorie des groupes..)

Mais finalement d'autres techniques sont bien plus efficaces.
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Re: Optimisation-Première S

par Ben314 » 27 Mar 2017, 02:06

Niveau T.S., je sais pas s'ils savent que la distance d'un point à une droite c'est (dans un repère orthonormé bien sûr)

Si oui, ça permet de paramétrer super facilement les droites tangentes à un cercle donné et/ou d'éviter les calculs du 3) çi dessus un peu long et qui peuvent sembler "bizarres" si on n'a pas l'habitude.

Si non, on peut éventuellement le montrer vu que c'est vraiment pas compliqué, mais ça fait quand même plus "résultat de cours" que truc que tu démontre au beau milieu d'un exercice.
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Re: Optimisation-Première S

par pascal16 » 27 Mar 2017, 14:03

Lostounet a écrit:
pascal16 a écrit:Les solutions géométriques sont plus rapides dans ce cas.


Qui a envie de minimiser la fonction:



? :evil: (sauf erreur)


En fait, on a le droit d'enlever la grande racine.
et y a plein de 1-t à mettre en facteur pour simplifier la formule

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Re: Optimisation-Première S

par poutine » 28 Mar 2017, 17:37

Bonjour,
Excusez-moi, malgré tous les efforts que vous avez fait pour m'expliquer je n'ai absolument rien compris. Je suis encore en Première S et donc tout ce que vous venez de dire bah j'ai rien compris à faute d'avoir d'essayé.
J'ai montré à mon professeur ce que j'ai fais (ce que je vous ai montré) et il m'a dit que c'était bien mais que pour la dérivé c'était pas possible car au moment où on est dans l'année on ne sait pas encore dérivé cette fonction.
Je vous en demande beaucoup mais auriez vous une façon plus ''geometrique'' pour trouver le résultat ? Merci de tous vos efforts.

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zygomatique
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Re: Optimisation-Première S

par zygomatique » 28 Mar 2017, 18:31

zygomatique a écrit:salut

soit s la réflexion d'axe (AC).

alors par symétrie de la figure par rapport à cette droite on en déduit que s(M)s(N) = MN lorsqu'on considère les tangentes en T et s(T)

de plus lorsque T rend vers D alors M tend vers D et N tend vers C et s(T) tend vers B = s(D) ainsi que s(M) et N tend vers s(C) = C et MN = s(M)s(N) tend vers 1

donc MN est minimal lorsque T = s(T)

soit t un argument de T dans le repère (A, B, D)

l'équation de la tangente en T au cercle est (x - cos t)cos t + (y - sint) sin t = 0 <=> x cos t + y sin t = 1

(AT est un vecteur normal à la tangente donc AT.TM = 0 (produit scalaire) ...)

si T = s(T) alors t = pi/4 et l'équation de la tangente est x + y = r(2) (r est la racine carrée)

elle coupe la droite d'équation x = 1 en M(1, r(2) - 1) et la droite d'équation y = 1 en N(r(2) - 1, 1)

la distance minimale est donc


et voir le graphique ...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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