Si je me suis pas gouré, sans aucune hypothèse de régularité... on est mal... :
Si on regarde
comme un
espace vectoriel et qu'on considère un supplémentaire
de
dans
:
(via l'axiome du choix pour justifier l'existence d'un tel
) alors la fonction
(en fait, de
) définie pour tout réel
par
est solution du problème.
Elle est évidement discontinue en tout point et périodique avec un ensemble de périodes qui est égal au sous-groupe additif
de
(qui est bien entendu dense dans
).
Et évidement, non seulement on a le choix pour
mais en plus c'est uniquement un exemple de solution "non régulière" vu qu'on peut faire la même construction en partant de
, voire même peut-être directement en partant d'une base de Hamel de
.
Après, on peut se poser la question de savoir quel est le "minimum de régularité" à demander à la fonction pour que l'unique solution soit t->t+1. Clairement, "continue sur R", c'est suffisant, mais est-ce que "continue en 0" ou bien "continue en au moins un point" est suffisant ?