Problèmes

[Hlb28]

Bonsoir,
Voila j'ai un petit problème je vois pas trop comment faire
"Trouver tous les , premiers tels que est le produit de deux premiers"

Merci d avance

[zygomatique]

salut



je ne vois même pas pourquoi ce nombre serait multiple de pq ...

[Pseuda]

Bonjour,

On peut remarquer que : p > q > 2 (donc p et q sont 2 premiers impairs), et que p^2-q^2=(p-q)(p+q).

Puis si d | n, alors 2^d-1 | 2^n-1 (on a même si d = pgcd (n,m) alors 2^d-1=pgcd(2^n-1, 2^m-1).

Calcule le pgcd de p-q et p+q. Je te laisse continuer.

[Ben314]

Tu as une solution complète Pseuda ?
(il me semble que j'avais un peu cherché et que ça me semblait pas mal la m...)

[Pseuda]

Bonsoir,

J'ai abouti à une solution, mais pas à l'ensemble des solutions. J'obtiens :

3 divise (et peut être égal à) qui divise (sans être égal)
3 divise (sans être égal) qui divise (sans être égal)
pgcd (,
5 divise .
On obtient donc au moins 4 diviseurs premiers de , dont et .

Il y a la solution évidente (qui marche) : et , et .

Maintenant, il faudrait étudier toutes les solutions et les impasses : 3 ou 5 peut être distinct de p ou q, et peut être ou diviser un quotient des divisions citées plus haut, etc ... .Tout cela n'est pas décisif.

[Ben314]

En fait, je viens de (re)regarder :
On veut avoir avec premiers (pas forcément distincts).
Comme est exclu, le terme de gauche est impair donc sont des premiers impairs et .
Comme et sont impairs est divisible par 8 donc le terme de gauche est divisible par ce qui signifie que, parmi les 4 nombres premiers on doit avoir 3 , 5 et 17.
Après, il y a sans doute plus futé, mais on peut se lancer dans des tests :
- En testant , seul et marche.
- Si mais pas alors et mais rien ne marche.
- Si mais pas alors on a et, pour chacune des 3 valeurs de , le terme de gauche devient rapidement trop grand et on a qu'un nombre fini d'essais à faire pour (que je n'ai pas fait...)

[Pseuda]

Ah oui, je n'ai pas vu que était divisible par 8 (ils sont de la forme 4n+1 ou 4n-1). Cela simplifie bien le problème mais n'a pas l'air de le résoudre complétement.

Peut-être qu'en recollant tes morceaux avec les miens ?

[Ben314]

Sauf erreur, effectivement tu t'en sort avec un nombre fini de tests, mais c'est un peu "pas beau" vu que dans le dernier cas, il faut commencer par regarder à partir de quand on a pour déterminer "jusqu'où" il faut tester.

[Pseuda]

Si p et q >= 4, alors ils s'écrivent 6n+1 ou 6n-1, donc p^2-q^2 est divisible par 12. Notre nombre est alors divisible par 2^12-1=4095, et par 255, donc par plus de 5 nombres premiers (au moins 3*3,5,7,13,17). Impossible.

Donc q=3.

Après, p = 5 ou 17, car 255p +1 ne peut pas être une puissance de 2 (enfin je pense).

5 marche. 17 dépasse la capacité de ma calculatrice, le nombre est divisible par 3 et 5, reste à voir par 17 et par un seul autre nombre premier.

[Ben314]

Avec le coups des , y'a très peu d'essais à faire :
Si q>3 alors p²-q² est divisible par 12 donc 2^(p²-q²)-1 est divisible par 2^12-1=4095=3²x5x7x13 ce qui est impossible vu que 2^(p²-q²)-1 ne doit contenir que 4 facteurs premiers.
Donc q=3 et le même raisonnement que ci dessus partant du fait p²-3² est divisible par 8 dit que.
- Si p=5, ça marche : 2^(5²-3²)=2^16-1=65535=3.5.17.257
- Mais si p=17, ça ne marche pas car 17^2-3^2=280 est divisible par 5 et par 7 donc 2^280-1 est divisible par 2^5-1=31 et 2^7-1=127 et avec 3, 5 et 17, ça fait déjà 5 facteur premier donc trop.
- Sinon, c'est que {r,s}={5,17} et l'équation devient 2^(p²-9)-1=255p avec p>=7 donc p<2^(p-4) [bête récurrence] et 2^(p²-9)=255p+1<2^8.2^(p-4) soit p²-9<p+4 qui donne p<5 donc rien à tester.

[Pseuda]

Bonjour,

L'union fait la force. Il n'y a donc qu'une seule solution, la solution évidente. Bel exercice, mais qui dépasse le niveau lycée.

J'ai rectifié les erreurs de mon message précédent (pensé après coup).