(ex)' et (e^u(x))'

[Even33]

Bonjour,

Je ne parviens pas à différencier (enfin à comprendre pourquoi on différencie) ces deux formes de dérivée.

Dans un cas on a

1 - (e^x)' = e^x
Ok. impect

2 - Puis...
(e^u(x))' = u'(x).e^u(x)

Je vais tenter d'être précise :
Pour moi x représente n'importe quel nombre, même 2x+4 par ex.
donc, naïvement je noterai
(e^2x+4)' = e^2x+4

Pourtant dans un exo, je vois
f(x) = e^2x^2-6x+2
Et c'est la formule avec le u qui est utilisée (la deuxième ici)

Naïvement j'aurai utilisé la première. ^x de la première étant pour moi ici représenté par 2x^2-6x+2

Quand est-ce que je sais si je suis en cas 1 ou 2 ?

-Est-ce quand je vois f(x) = e (de quelque chose) bref f(x) ou g qu'importe devant ?
- Et la formule avec le u me rappel la formule des combinaisons de fonctions, suis-je donc face à un cas
(f°e)(x) ? avec la deuxième formule ?

Merci

[Ben314]

Salut,
Ben le problème et ce qu'il faut absolument comprendre, c'est que ce n'est pas un nombre que tu dérive, mais une fonction.
En temps que "nombre", de dire que c'est la même chose que pour y'a aucun soucis, mais en terme de fonction, ça n'est pas pareil : la première expression est une fonction de et la deuxième une fonction de X.
Et au niveau "purement calculatoire", il faut bien se rappeler que et donc que si tu fait "je sais pas quel tripatouillage" sur le du au numérateur, ben faut évidement faire le "même tripatouillage" sur le du dénominateur.

[Tiruxa47]

Bonjour,
Tu peux par contre utiliser exp(u) pour dériver exp(x) mais pas l'inverse
.
exp(u) est une fonction composée de la fonction u suivi de la fonction exp

[WillyCagnes]

bjr
f(x) = e^(2x²-6x+2)

U=2x²-6x+2
U'=4x-6

f(U)=e^U
f'(U)=U'.e^U=(4x-6).e^(2x²-6x+2)

[Even33]

Merci bcp d'avoir pris le temps de répondre.

Par contre, je ne comprends toujours pas. Je pense que j'ai mal posé la question.
Je la re-note tout en bas.

Ben 314 oui, je sais bien qu'on dérive une fonction, non un nombre. Pas de pb.
Je tentais juste d'expliquer quand dans la fonction e (puisqu'on parle de ça là) pour moi le x de la formule général pouvait prendre n'importe quelle forme. Mais après oui, on dérive la fonction C'est acquis.
Pour le num et dénominateur ok aucun pb.

Là par contre, je pense qu'on tient une réponse, mais je ne la comprends pas vraiment (je comprends mais comment distinguer est ma vraie question):
"ça n'est pas pareil : la première expression est une fonction de et la deuxième une fonction de X."
comment savoir si e de x est e^x ou e(X)

Est-ce que quand tu parles de X tu parles d'une sorte de combinaison de fonction entre
e et u ?

Willycagnes merci.
La formule à appliquer, ça va.

ce que je ne comprends pas en réalité c'est :
Quand est-ce que je sais que je suis dans le cas
(e^x)' = e^x
et quand est-ce que je suis dans le cas
e^U

[Even33]

Bonjour,
Tu peux par contre utiliser exp(u) pour dériver exp(x) mais pas l'inverse
.
exp(u) est une fonction composée de la fonction u suivi de la fonction exp

Ah merci, je n'avais pas vu
Donc déjà un début de réponse c'est une combi de fonction quand intervient U.
Maintenant comment différencier
e^x où x est x
et
e^un nb ou ce nombre n'est pas x mais U (une fonction)

[Ben314]

Je tentais juste d'expliquer quand dans la fonction e (puisqu'on parle de ça là) pour moi le x de la formule général pouvait prendre n'importe quelle forme.

Justement, moi ce que j'essayai de t'expliquer, c'est que ça n'a rien à voir avec la fonction exponentielle.
Si tu prend la fonction f définie par : pour tout x dans R f(x)=x² alors "le x de la formule générale" (comme tu dit) peut aussi "prendre n'importe quelle forme" et c'est même écrit explicitement dans la définition via le "pour tout réel x".
Donc on peut reprendre mot à mot ton exemple du premier post.

. . . donc, naïvement je noterai
(e^2x+4)' = e^2x+4

en se demandant si la dérivée de la fonction x->(2x+4)² c'est la même chose ou pas que la dérivée de X->X² qu'on a calculé au point X=2x+4 (*)
Et ce que je raconte ensuite, ça correspond à comprendre que, si par exemple tu fait un tour en bagnole et tu note f(t) la distance en Km parcourue à l'instant t. Si tu compte le temps en heure et que tu as f(1)=50 ça signifie que tu as fait 50 Km au bout d'une heure et si tu as f'(1)=60, ça veut dire que, toujours au bout d'une heure, tu roule à 60Km/h. Mettons que maintenant tu change d'avis et que le temps tu le compte en minute. Ton f(1)=50 (Km), il devient F(60)=50 (Km) donc ça ne change rien à la valeur en temps que nombre de la fonction. Par contre, maintenant tu as F'(60)=1 (Km/minute) et la valeur en temps que nombre est différente de l'ancienne f'(1)=60 (Km/h). Bref, de changer la variable (en minute ou en heure), ça ne change pas les valeurs numérique de la fonction, mais ça change les valeurs numériques de la dérivée.
Ecrit avec des maths "propres", ce que je raconte là, ça te dit que, si F(T)=f(u(T)) alors F'(T)=u'(T)xf'(u(T)) donc si tu passe de t en heures à T en minutes, c'est à dire t=T/60=u(T), ça ne changera rien aux valeurs de la fonction (ça reste des Km), mais les dérivées sont à multiplier par u'(t)=1/60 et c'est on ne peut plus normal vu que ça correspond à la conversion à faire pour passer de Km/h à des Km/minute.

(*) Et c'est justement là que tu voit dans quel "piège" ça fait tomber d'écrire des conneries du style (e^2x+4)' qui incitent plus que fortement à penser que c'est un réel qu'on dérive et pas une fonction. Si tu l'écrit en terme de fonction, tu as d'un coté x->exp(2x+4) et de l'autre X->exp(X) mais il est bien clair que X et x c'est pas la même chose vu qu'on a posé X=2x+4.

[pascal16]

Les physiciens ont bien raison d'écrire : ou
-> c'est 100% compatible avec les logiciels de calcul formels
-> ça marche plus tard avec les dérivées partielles (ou l'étude selon x et un paramètre)
-> c'est top pour le changement de variable dans les intégrales
-> on comprend mieux les changements d' unités m et m/s

[Ben314]

Oui, mais ce qu'on gagne de ce coté là, on le perd du coté que les fonctions n'ont plus le droit d'être définie à l'aide de variable muettes. La fonction n'est plus la même que la fonction vu que le d/dt de la première donne 2t alors que le même d/dt de la deuxième donne 0.
Bref, c'est archi. super pratique dans des contextes physiques où on n'a pas affaire à des fonctions (au sens mathématique du terme) mais à des "quantités mesurables" sans que soit forcément bien défini les variables dont dépendent les "quantités" en question.
Sauf qu'il y a pas mal de domaines des mathématique où c'est pas du tout pratique comme point de vue et c'est pour ça que les notations (et même les point de vue sur ce qu'est une "fonction") ne sont pas les mêmes.

[Pseuda]

Bonjour,

J'aurais tendance à répondre, parce que cela ne fait pas en général . Les choses ne sont pas si simples.

Plus sérieusement, tout dépend de la variable par rapport à laquelle on dérive : la dérivée en un point est la limite du taux d'accroissement en ce point quand l'accroissement de la variable tend vers 0.

Pour , si on dérive par rapport à , alors . Pour , si on dérive par rapport à , alors .

Mais pour , si on dérive par rapport à , avec étant une fonction de , alors on a : .

[Even33]

Je tiens déjà à vous remercier du temps que vous prenez, et du reste je vais lire au calme plusieurs fois vos réponses dans la journée, tenter de mieux comprendre vos explications (en regardant des exos en mm tps) et je re ensuite.

Ça va bien finir par se débloquer

[Tiruxa47]

Ce même problème tu l'as déjà rencontré quand on dérive par rapport à la variable x,
Les fonctions f et g telles que f(x)=x² et g(x) = (2x+1)², n'ont pas la même dérivée, la deuxième étant du type u² de dérivée 2uu'

Idem pour f(x)=1/x et g(x) = 1/(3x+1)², la deuxième étant du type 1/u sa dérivée étant -u'/u² etc...