Exo dérivées + suites

[mariano]

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (1-2x)(e^(2x)). On note f(n) la dérivée nième de f.

1) Calculer f(n)(x) pour n = 1, 2 et 3

Pour n = 1 j'ai trouvé f '(x) = - 4x(e^(2x))

Pour n = 2 j'ai trouvé f ''(x) = (e^(2x))(-4-8x)

Pour n = 3 j'ai trouvé f(3)(x) = (e^(2x))(-16-16x)

2) Montrer par récurrence sur l'entier n non nul,que f(n)(x) = (2^n)(1-n-2x)(e^(2x))

je pars donc de f(n+1)(x) = [f(n)(x)]'

j'arrive à f(n+1)(x) = (e^(2x))(-2+(2^n)+(2^n)x2) et là je suis bloqué

Comment aller plus loin ?

3) Pour tout entier n non nul, la courbe représentative de f(n) admet une tangente honrizontale en un point Mn.

a : Calculer les coordonnées Xn et Yn de Mn. Vérifier que les points appartiennent à la courbe d'équation : y =(e^(2x))/(4^x)

b : Vérifier que la suite (Xn) est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison. Etudier la limite de la suite (Xn).

c : Vérifier que la suite (Yn) est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison. Etudier la limite de la suite (Yn).

Pour la 3 je bloque dès le a, je ne sais vraiment pas quoi faire !

Pourriez-vous m'aider svp ?

[fonfon]

salut,

2) Montrer par récurrence sur l'entier n non nul,que f(n)(x) = (2^n)(1-n-2x)(e^(2x))

je pars donc de f(n+1)(x) = [f(n)(x)]'

j'arrive à f(n+1)(x) = (e^(2x))(-2+(2^n)+(2^n)x2) et là je suis bloqué

Comment aller plus loin ?

on a:


on note la propriété :pour n ds N*,

*pour n=1 je fais pas mais ça marche
*Supposons vraie pour un n#0 fixée alors par hypothèse on a:


regardons pour
donc ici calcule et
et tu devrais pouvoir conclure

[fonfon]

Re,

) Pour tout entier n non nul, la courbe représentative de f(n) admet une tangente honrizontale en un point Mn.

a : Calculer les coordonnées Xn et Yn de Mn. Vérifier que les points appartiennent à la courbe d'équation : y =(e^(2x))/(4^x)

on dit que la courbe de f(n) admet une tangente horizontale en um point Mn donc le coeficient directeur de la tangente est ... et l'equation de la tangente d'une courbe en un point Mn(Xn,Yn) est donnée par:

donc le coefficient directeur est ...

bon courage

[mariano]

salut,



on a:


on note la propriété :pour n ds N*,

*pour n=1 je fais pas mais ça marche
*Supposons vraie pour un n#0 fixée alors par hypothèse on a:


regardons pour
donc ici calcule et
et tu devrais pouvoir conclure

J'avais fait ça mais je viens de me rendre compte que j'avais fait une bête erreur de calcul ! Maintenant ça marche ! Je m'attaque à la suite !

Merci pour tes conseils !

[fonfon]

Ok, pas de probleme

juste un truc: avec ce que je t'ai donné tu devrais trouver facilement Xn donc pour avoir Yn tu n'as qu'a remplacer dans fn(x) et ensuite ça devrait derouler tout seul

[mariano]

Xn est bien égal à (-n)/2 ?

[fonfon]

oui, c'est bien ça

[mariano]

oui, c'est bien ça

Et Yn = (1+n)(e^(-n)) ?

[fonfon]

Et Yn = (1+n)(e^(2x)) ?

non ,c'est

[mariano]

Ok je refais le calcul pour chercher mon erreur

[mariano]

Ok je refais le calcul pour chercher mon erreur

Ah j'avais utilisé f(x) au lieu de f(n)(x)

[fonfon]

donc c'est bon tu trouves pareil

b : Vérifier que la suite (Xn) est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison. Etudier la limite de la suite (Xn).

tu calcules tu montres que ça vaut (a cste et c'est la raison)

ensuite tu regardes ton cours pour avoir la forme de attention tu demarres à f(1)(x) et non f(0)(x)

c : Vérifier que la suite (Yn) est une suite arithmétique dont on donnera le premier terme et la raison. Etudier la limite de la suite (Yn).

même principe sauf qu'il faut trouver qq chose de la forme avec q la raison et pour avoir l'expression de c'est ds ton cours

[mariano]

oui c'est bon c'était la a qui me posait problème maintenant tout va bien ! merci beaucoup pour ton aide !

[fonfon]

Ah beh c'est bon si le reste ça marche

bonne soirée
A+ :++:

[mariano]

Juste une petite confirmation : Y(n+1)= Yn x (e/2) n'est-ce pas ?

ah non c'est pas ça...

ah voilà c'est Y(n+1) = Yn x (2/e)

[fonfon]

oui c'est bien ça