Question Concours G

[Hlb28]

Bonsoir,
Suite au concours général je me pose quelques questions :

Comment prouver que si sont des entiers tels que alors

Et comment prouver que qu il existe un unique entier , sans facteur carré, tel que pour tout angle non droit et strictement inférieur à 180° , le nombre puisse s'écrire sous la forme ou est un rationnel non nul ?

Merci d avance

[Ben314]

Pour le premier, c'est assez simple : tu as a²+b²+c²+d²=8a² c'est à dire un multiple de 8.
Or le carré d'un nombre pair donne un reste de division par 8 égal à 0 ou 4 et le carré d'un impair donne un reste de division par 8 forcément égal à 1. Or si on veut écrire un multiple de 8 en ajoutant quatre nombres égaux à 0, 1 ou 4 les seules solutions sont 0+0+0+0 ; 0+0+4+4 et 4+4+4+4 qui n'utilisent pas de 1 donc les 4 nombres a,b,c,d sont pairs. Sauf que partant de a²+b²+c²+d²=8a², si on divise a,b,c et d par 2, on retombe sur la même équation dans laquelle de nouveau les 4 termes doivent être pair donc on peut de nouveau diviser par 2, etc...
Bref, on doit pouvoir diviser a,b,c,d par 2 autant de fois qu'on en a envie et ça ce n'est évidement possible que s'ils sont tout les 4 nuls (on peut aussi dire dés le départ que, s'ils ne sont pas tous nuls, on les divise tout les 4 par leur pgcd de façon à ce qu'ils soient globalement premier entre eux et terminer en disant qu'on obtient une contradiction lorsque l'on constate qu'ils doivent être tout les 4 pairs).

Et comment prouver que qu il existe un unique entier , sans facteur carré, tel que pour tout angle non droit et strictement inférieur à 180° , le nombre puisse s'écrire sous la forme ou est un rationnel non nul ?

Par contre ça, c'est c'est on ne peut plus évident que c'est complètement faux : lorsque l'angle t varie continument de 0 à 90° (90° exclu), la tangente de t prend toutes les valeurs réelles>0 et il clair que dans le lot l'immense majorité des valeurs qu'elle prend ne sont pas de la forme avec r rationnels et k entier.
Et en plus, ça n'a rien à voir avec le cas particulier de la fonction tangente : ça serait tout aussi faux pour absolument n'importe quelle fonction non constante sur l'intervalle considéré.

[LjjMaths]

Salut
Il me semble que la question était plutôt :

comment prouver qu il existe un unique entier , sans facteur carré, tel que pour tout angle θ (non droit) d un triangle dont les sommets sont de coordonnées entieres , le nombre tanθ puisse s'écrire sous la forme rVk ou est un rationnel non nul ?

Et perso j'ai utilisé la question précédente qui te demandais de prouver la rationalité de tan(θ)^2 et la question préliminaire qui te demandais de prouver que si sqrt(n) est rationnel alors il existe m tq n=m^2
Ça devrait te permettre de trouver

[Pseuda]

Bonjour,

Autrement dit pour la 1ère équation, si (a,b,c,d) est solution, alors ils sont tous pairs. Alors (a/2,b/2,c/2,d/2) est aussi solution, et pour la même raison, ces nombres sont à nouveau tous pairs, etc.... . Au bout d'un moment (à force d'être divisés par 2), ils deviennent tous inférieurs ou égaux à 1, et ils ne sont tous pairs que s'ils sont tous nuls.

[Ben314]

Ca me semble toujours aussi louche (mais dans l'autre sens cette fois) :
Si les sommets du triangle sont P,Q,R avec et alors

---------
Donc est rationnel et le de l'énoncé ne sert a rien (ou alors c'est vicieux et il faut répondre k=1)

Bref, ce deuxième énoncé, bien que juste, me semble tout aussi bizarre que le premier que tu as proposé.

[Pseuda]

, qui ne peut pas se mettre sous la forme .

[Pseuda]

Ca me semble toujours aussi louche (mais dans l'autre sens cette fois) :
Si les sommets du triangle sont P,Q,R avec et alors

---------

Pourquoi si compliqué ?



(en simplifiant par les normes des vecteurs, et pour des angles compris entre 0° et 90°)

[Ben314]

Pourquoi si compliqué ?

Pour une raison somme toute assez simple : je ne connais pas le programme de première (*) donc je ne sais pas si les déterminants de couples de vecteurs sont connus ou pas. Donc, au cas où, j'ai refait la preuve en partant du seul truc dont je suis a peu près certain qu'il est connu, à savoir du rapport entre le cosinus et le produit scalaire.

(*) et/ou de terminale : ça se passe quand le concours général ?

[Pseuda]

Oui je me doutais bien. Les déterminants de couples de vecteurs sont connus au lycée, mais pas la formule avec les sinus.

Mais comme tu répondais à LjjMaths, et que je ne vois pas d'où sort son interprétation, tu ne répondais donc pas à mon sens à Hlb28 qui passe le concours général, dont je ne connais pas la date par ailleurs.

[Ben314]

...tu ne répondais donc pas à mon sens à Hlb28 qui passe le concours général...

ça, je t'avoue que j'ai absolument pas fait gaffe : j'ai juste (re)regardé qu'on était dans la section "Lycée" et ça c'est arrêté là....

...dont je ne connais pas la date par ailleurs.

Sinon, à midi, j'ai vaguement cherché pour voir si je trouvais "le bon" énoncé et il me semble que ça se passe ces jours ci, mais j'ai pas trouvé le sujet de cette année sur le net et y'a rien l'année dernière ni celle d'avant concernant le fait que certains angles ait des tangentes particulières.

[Pseuda]

Ok. Bonne soirée.

[Pseuda]

Je viens de voir : les épreuves ont lieu en ce moment du 6 au 17 mars. C'est donc très normal qu'elles n'apparaissent pas encore.

Bizarre, erreur de recopiage ?

[LjjMaths]

Salut,
Nan j'ai bien recopier le sujet pourtant il me semble
Je veux bien mettre le sujet des demain vu que je l ai passé mais je sais pas trop comment on fait a vrai dire

[LjjMaths]

C'était l'exo 3 sur des triangles dans le plan et dans l espace
il fallait que les coordonnées des sommets soit entières
C'était plutôt interressant