Théorème de la pomme de terre rissolée

[Wirenth]

Bonjour à tous,

Un défi sur lequel je me suis cassé les dents pendant un petit bout de temps, et sur lequel je n'ai jamais trouvé la solution. Une rubrique "défis et énigmes" dans un forum de math, c'est l'endroit idéal !

Alors voilà tout est dans le titre, ou presque :

Soit une poêle contenant n pommes de terre que l'on espère rissoler de manière le plus homogène possible. Une pomme de terre "rissolée" est un cube, donc de 6 faces.

Action n°1 ; je verse les pdt dans la poêle, considérant que celle-ci a une surface suffisante et que les pdt ne se chevauchent pas, elles vont toutes cuire sur 1 face.

Action n°2, au bout d'un certain temps je remue la poêle, et chaque pdt se positionne au hasard sur une des 6 faces.

Action n°k, au bout du même certain temps, je remue, et ainsi de suite.

Le but : trouver la loi du % de pommes de terre qui auront les 6 faces cuites, en fonction du nombre de fois où l'on remue.

Çà, c'est la question de base.


Et pour départager les ex-æquo : on peut aisément imaginer que quand k augmente sensiblement, non-seulement toutes les pdt auront leur 6 faces grillées, mais en plus le temps de cuisson des 6 faces d'une pdt sera lui aussi de plus en plus homogène.

En effet, si je prends une pdt, dès que sa 6ème face est cuite, si ça se trouve, il y a une face qui aura été grillée 10 fois, d'où un écart important entre les faces. Par contre à k=1500, il y a de fortes chances pour que chaque face ait vu à peu près 250 fois la poêle, plus ou moins pas grand chose.

Donc la question subsidiaire, c'est trouver la loi "d'homogénéité" ou d'écart type, en quelque sorte, sur le nombre de cuissons de chaque face.


Voilà voilà, à ceux qui se passionnent pour les pommes de terre rissolées, vous avez du pain sur la planche !
Merci d'avance et bravo à ceux qui vont s'y coller, moi j'ai renoncé...

Wirenth.

[Doraki]

Pour la question de base, ça se fait soit juste en faisant le dénombrement (principe inclusion - exclusion) soit en parlant de chaîne de Markov