Prouver que 1+1/4+1/9...< 2 ?

[Lostounet]

Bonjour,

Petite question simple qui me turlupine.

Comment feriez-vous pour prouver que la somme de la série des 1/n^2 est strictement inférieure à 2 sans utiliser le fait que ?

Une méthode qui peut venir à l'esprit est celle d'utiliser un télescopage, mais une telle méthode donne, après passage à la limite, une inégalité large.


Votre avis m'intéresse. Il doit sûrement y avoir une méthode habile pour triturer la somme de manière judicieuse...

[Ben314]

Salut,
Encadrer la valeur de la série, c'est élémentaire (et archi. classique) : la décroissance de te dit que pour tout entier tu as puis, en sommant de à l'infini, que
et donc que .
En choisissant suffisamment grand, ça te donne un encadrement aussi précis que tu veut de qui te permet de montrer ce que tu veut.
Par exemple, te donne ; te donne et te donne déjà

Et, bien sûr, si tu veut un truc qui approxime plus vite, il te suffit de trouver un meilleur encadrement de départ de la forme et je te laisse réfléchir (c'est une vrai question) pour voir quels outils mathématiques permettent de trouver de "bonne fonction" et , i.e. donnant le meilleur encadrement possible.

[Lostounet]

Merci beaucoup Ben.
J'avais bien eu l'idée de la comparaison avec la méthode des rectangles mais j'ai dû me tromper quelque part.

Pour ta deuxième question, il me semble qu'on peut essayer de regarder une méthode plus fine que celle des rectangles.. peut-être la méthode des trapèzes ou du point médian ou autre ... je vais réfléchir.
Je ne sais plus trop.

[Ben314]

Par exemple, un encadrement assez précis du reste de la série est :

Rien que pour , ça donne déjà
Et, pour , ça donne

[WillyCagnes]

bonjour,
une autre façon de retrouver cette valeur Pi²/6
avec les racines qui annulent sinx
la fonction sinx = x(1-x/pi)(1+x/pi)...(1-x/2pi)(1+x/2pi)...
sinx=x(1-x²/pi)(1-x²/4pi²)...(1-x²/n²pi²)
sinx= x-x^3/pi²(1+1/2²+1/3²+.......1/n²)+le reste

or en developpant sinx =x-x^3/3!+x^5/5!....mac laurin
par identification on trouve 1+1/2²+1/3²+..1/n²=Pi²/3!

[Lostounet]

Ben,
Tu fais un développement de Taylor? Avec reste intégral?

@Willy: il existe plusieurs méthodes. Mais je préfère réviser des méthodes générales d'encadrement. Par exemple la série des 1/n^3 converge vers on ne sait quelle constante (la constante d'Apéry) mais si on ne la connait pas (en valeur approchée) il faudra utiliser les encadrements de Ben.

[Ben314]

Visiblement, tout ce qui est MimeTeX est en rade complet en ce moment...

Sinon, le coup des intégrales, c'est (en tout cas si on reste "basique") une mauvaise approche : ça me semble plus simple de dire qu'on cherche F et G tels que F(k+1)-F(k)<1/k²<G(k+1)-G(k).
Et tu regarde quel développement asymptotique F(k)=a1/k+a2/k^2+a3/k^3+a4/k^4... donne un développement asymptotique de F(k+1)-F(k) de la forme 1/k^2+o(k^d) pour un d que tu t'es fixé d'avance puis tu regarde ce qu'il faut prendre comme constante explicite pour le dernier ai non utilisé dans F(k+1)-F(k)=1/k^2+o(k^d) pour que ton équivalent soit un majorant ou un minorant de 1/k^2.
Après, dans le cas présent ce qui apparait en fait comme coefficients ai, ça a franchement l'air d'être les nombres de Bernoulli, mais j'ai pas cherché à savoir pourquoi (j'ai juste calculé les 5 premiers termes ai avec Maple sans réfléchir...)

P.S. : En fait, c'est la Formule d'Euler-Maclaurin qui permet de faire dans le cas général le bidule dont je parle çi dessus. Et il y a effectivement les nombres de Bernoulli qui apparaissent systématiquement.
P.S.2 : Et en fait, dans le même lien, au "problème de Bâle", il disent que c'est justement pour évaluer la somme des 1/k² qu'Euler aurait utilisé la formule d'Euler-Maclaurin et trouvé 20 décimales et que ça l'aurait "probablement convaincu" (dixit Wiki) qu'elle valait π²/6.

[Lostounet]

Hmm j'avais un peu oublié cette formule/ta méthode.Merci Ben...

J'espère que le pb de Tex sera bientot réglé pour que je puisse relire ta réponse..