Vecteur hortogonal

[yoshi13]

Bonjour à tous,

On sait "trivialement" que un vecteur orthogonal au vecteur (a,b) est le vecteur (-b,a).

Pour un exemple aussi simple le vecteur orthogonal à (a,b) est facile à trouver, mais j'aimerais en avoir la preuve de sorte que si on me donne un vecteur beaucoup plus grand ou plus compliqué, je puisse retrouver un vecteur orthogonal à ce dernier.

Merci d'avance !

[siger]

bonjour

il y a plusieurs demonstrations possibles
par exemple .......
1- le produit scalaires des deux vecteurs est nul
a*(-b) + b *a = 0
2-
le produit des coefficients directeurs de deux droites basée sur les vecteurs est egal a -1
b/a est le coefficient directeur d'une droite ax+by +c=0
-bx+ay+d=0 est l'equation de sa perpendiculaire
d'ou (b/a) * (a/-b) = -1

.........

[yoshi13]

bonjour

il y a plusieurs demonstrations possibles
par exemple .......
1- le produit scalaires des deux vecteurs est nul
a*(-b) + b *a = 0
2-
le produit des coefficients directeurs de deux droites basée sur les vecteurs est egal a -1
b/a est le coefficient directeur d'une droite ax+by +c=0
-bx+ay+d=0 est l'equation de sa perpendiculaire
d'ou (b/a) * (a/-b) = -1

.........

Merci pour ta réponse Siger,

pour le 1, ok.

pour le 2
Je dois faire les choses de travers car je regarde le produit scalaire de (a,b) avec un vecteur (x,y) et je regarde les conditions pour que (a,b) scalaire (x,y) soit égal à 0.

J'obtiens ax + by = 0

Sans être sur de la théorie qu'il y a derrière ( ou pas ^^) j'écris ax = -by, ce qui me donne le vecteur:

(-by,y) et j'écris vect(-b,1) .

J'ai un 1 à la place du "a".

D'où viens le "c" et "d" de ton expression pour la droite??
je ne comprends pas le raisonnement

[Ben314]

Salut,
Sinon, si tu est dans "supérieur", ça me semble très "concon" de pas donner ce qui me semble être "la bonne" explication :
La rotation vectorielle de centre (0,0) et d'angle (orienté) est une application linéaire qui envoie très clairement e1=(1,0) sur e2=(0,1) et e2=(0,1) sur -e1=(-1,0) donc sa matrice dans la base canonique (e1,e2) est et l'image du vecteur de coordonnées (a,b) est le vecteur de coordonnées (-b,a).
Et ça te dit non seulement que (-b,a) est orthogonal à (a,b) mais aussi qu'il est de même norme et que, si (a,b) est unitaire, alors la base { (a,b) ; (-b,a) } est orthonormée directe.

Et de façon plus générale, c'est tout sauf con de savoir que la matrice dans la base canonique de la rotation vectorielle d'angle c'est (toujours en regardant bêtement les image de e1 et de e2).

[siger]

re

ce n'est pas une demonstration mais une explication (ou cela a voulu l'etre!)

ax + by = 0 est une relation scalaire (le produit scalaire est un nombre) donc tu peux ecrire ax = -by
qui donne x = -(b/a)*y et non -by
donc le vecteur (x,y) devient (-b/a, 1) ou (-b,a)

l'equation d'une droite ax+by+c=0 ou y = y=-(ax/b+c/b) est une equation generale dans laquelle c/a est l'ordonnees a l'origine qui separe les differentes droites paralleles de coefficient directeur -b/a

[Pseuda]

un vecteur beaucoup plus grand ou plus compliqué, je puisse retrouver un vecteur orthogonal à ce dernier.

Bonsoir,

Qu'entends-tu par vecteur bcp plus grand ou plus compliqué ? En dimension 3 par exemple ? Dans ce cas, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à un vecteur non nul forme un plan vectoriel.

PS : orthogonal cela n'a rien à voir avec l'horticulture, cela s'écrit sans h, et c'est issu de "ortho" qui veut dire "droit" .

[yoshi13]

Salut,
Sinon, si tu est dans "supérieur", ça me semble très "concon" de pas donner ce qui me semble être "la bonne" explication :
La rotation vectorielle de centre (0,0) et d'angle (orienté) est une application linéaire qui envoie très clairement e1=(1,0) sur e2=(0,1) et e2=(0,1) sur -e1=(-1,0) donc sa matrice dans la base canonique (e1,e2) est et l'image du vecteur de coordonnées (a,b) est le vecteur de coordonnées (-b,a).
Et ça te dit non seulement que (-b,a) est orthogonal à (a,b) mais aussi qu'il est de même norme et que, si (a,b) est unitaire, alors la base { (a,b) ; (-b,a) } est orthonormée directe.

Et de façon plus générale, c'est tout sauf con de savoir que la matrice dans la base canonique de la rotation vectorielle d'angle c'est (toujours en regardant bêtement les image de e1 et de e2).

Merci pour ta réponse Ben!
Oui vu comme cela c'est très bien aussi, ca pousse ma curiosité à te demander quelle tete auraient des matrices de rotations dans R^3 ... R^n mais je vais pas t'embêter car il doit y avoir des cours disponible sur le sujet.

[yoshi13]

re

ce n'est pas une demonstration mais une explication (ou cela a voulu l'etre!)

ax + by = 0 est une relation scalaire (le produit scalaire est un nombre) donc tu peux ecrire ax = -by
qui donne x = -(b/a)*y et non -by
donc le vecteur (x,y) devient (-b/a, 1) ou (-b,a)

l'equation d'une droite ax+by+c=0 ou y = y=-(ax/b+c/b) est une equation generale dans laquelle c/a est l'ordonnees a l'origine qui separe les differentes droites paralleles de coefficient directeur -b/a

Oui merci pour ta réponse Siger, grave erreur de ma part, sans ta remarque j'aurais été capable de la refaire en devoir sur table

merci!

[yoshi13]

un vecteur beaucoup plus grand ou plus compliqué, je puisse retrouver un vecteur orthogonal à ce dernier.

Bonsoir,

Qu'entends-tu par vecteur bcp plus grand ou plus compliqué ? En dimension 3 par exemple ? Dans ce cas, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à un vecteur non nul forme un plan vectoriel.

PS : orthogonal cela n'a rien à voir avec l'horticulture, cela s'écrit sans h, et c'est issu de "ortho" qui veut dire "droit" .

Merci pour ta réponse Pseuda,

je me demandais ca par exemple, si on me donne D = orthogonal(vect(Vi)) i appartient à {1,..,n}, désolé je ne sais pas écrire avec les codes mathématiques, par "orthogonal(vect(Vi))" j'entends vect(V1, ... , Vn) avec le "T" renversé en haut à droite de l'expression.

Comment puis-je faire pour ré-exprimer ce vect sans le T renversé?

Pour l exemple précédent, orthogonal( vect(a,b) ) = vect(-b,a)

[Pseuda]

De mes connaissances, si on est dans un ev de dimension m et que la famille (v1, v2,... vn) est libre, le ss-ev orthogonal à cette famille est un ss-ev de dim m-n engendré par (vn+1,... vm) famille libre dont chacun des vecteurs est orthogonal à chacun des vecteurs de la famille (v1, v2,... vn) .

Tu peux l'exprimer sous forme d'un système de n équations à m inconnues.

Par exemple en dimension 3, l'ensemble des vecteurs orthogonaux aux vecteurs (a,b,c) et (a',b',c') libres, est l'ensemble des vecteurs (x,y,z) tels que : ax+by+cz=0 et a'x+b'y+c'z=0.

C'est une droite vectorielle d'équation cartésienne le système formé par ces 2 équations, ou d'équation paramétrique (x=... en fonction de z, y=... en fonction de z, z), en prenant z en paramètre. Je te laisse faire le calcul pour trouver quelque chose du genre comme (-b, a) en dim 2.
On obtient un ss-ev de dim 1 (droite vectorielle), engendré par un vecteur déterminé par l'équation paramétrique.

[Ben314]

Oui vu comme cela c'est très bien aussi, ca pousse ma curiosité à te demander quelle tete auraient des matrices de rotations dans R^3 ... R^n mais je vais pas t'embêter car il doit y avoir des cours disponible sur le sujet.

La question est pas super claire.
- Si ce que tu cherche, c'es la forme des matrices de rotation dans R^3, laors c'est (assez évidement) celles de la forme à changement de base (orthonormée) prés par contre dans une base (orthonormée) "non adaptée" à la rotation en question, on peut pas trop repérer "visuellement" que c'est la matrice d'une rotation, mais il y a critère simple : la transposée de la matrice doit être égal à son inverse et son déterminant doit être =+1.
Il y a aussi des outils plus adaptés si on doit faire des tonnes de raisonnement concernant les rotation de R^3, en particulier les composer (c'est un groupe). Par exemple avec les quaternions, on a une définition "plus simple".
Sinon et pour finir, il y a évidement des tonnes et des tonnes de truc à dire concernant le groupe des rotations de R^3 (qu'on note SO(R^3) ou SO3(R) ou O+(R^3) ou un truc du même style )

- Sinon, si ce que tu cherche c'est "un truc" qui te donne un orthogonal du vecteur (a,b,c), alors Pseuda t'a déjà répondu : dans R^3 l'ensemble des éléments orthogonaux à un vecteur donné, c'est un plan vectoriel donc un truc de dimension 2 et tu as évidement pas de vecteur "représentant caractéristique" de ton plan.
Une petite question intéressante et très basique d'algèbre linéaire, c'est par exemple de regarder si, partant d'un vecteur non nul U=(a,b,c) est-ce que les vecteurs V1=(-b,a,0) et V2=(0,-c,b) (qui sont clairement orthogonaux à U) forment systématiquement une base de l'orthogonal de U ?

- Par contre, y'a bien un truc qui existe dans R^3 qui "généralise" le (a,b)->(-b,a) de R^2 : si tu te donne deux vecteurs U1,U2 de R^3 non colinéaires, alors là, l'orthogonal de {U1,U2} est une droite vectorielle donc on peut espérer trouver un vecteur unique qui dirige cette fameuse droite.
Voit tu quel est le calcul "classique" qui permet de trouver un tel vecteur ?
Et si ça t'intéresse, tu peut chercher (c'est pas super difficile, mais pas trivial non plus) à généraliser le bidule : étant donné n-1 vecteur U1,U2,...U(n-1) (supposés libres) de R^n, quel calcul permet de trouver un vecteur V non nul orthogonal à tout les Ui ?

[yoshi13]

De mes connaissances, si on est dans un ev de dimension m et que la famille (v1, v2,... vn) est libre, le ss-ev orthogonal à cette famille est un ss-ev de dim m-n engendré par (vn+1,... vm) famille libre dont chacun des vecteurs est orthogonal à chacun des vecteurs de la famille (v1, v2,... vn) .

Tu peux l'exprimer sous forme d'un système de n équations à m inconnues.

Par exemple en dimension 3, l'ensemble des vecteurs orthogonaux aux vecteurs (a,b,c) et (a',b',c') libres, est l'ensemble des vecteurs (x,y,z) tels que : ax+by+cz=0 et a'x+b'y+c'z=0.

C'est une droite vectorielle d'équation cartésienne le système formé par ces 2 équations, ou d'équation paramétrique (x=... en fonction de z, y=... en fonction de z, z), en prenant z en paramètre. Je te laisse faire le calcul pour trouver quelque chose du genre comme (-b, a) en dim 2.
On obtient un ss-ev de dim 1 (droite vectorielle), engendré par un vecteur déterminé par l'équation paramétrique.

Merci Pseuda, j y vois vraiment plus clair.

[yoshi13]

Oui vu comme cela c'est très bien aussi, ca pousse ma curiosité à te demander quelle tete auraient des matrices de rotations dans R^3 ... R^n mais je vais pas t'embêter car il doit y avoir des cours disponible sur le sujet.

La question est pas super claire.
- Si ce que tu cherche, c'es la forme des matrices de rotation dans R^3, laors c'est (assez évidement) celles de la forme à changement de base (orthonormée) prés par contre dans une base (orthonormée) "non adaptée" à la rotation en question, on peut pas trop repérer "visuellement" que c'est la matrice d'une rotation, mais il y a critère simple : la transposée de la matrice doit être égal à son inverse et son déterminant doit être =+1.
Il y a aussi des outils plus adaptés si on doit faire des tonnes de raisonnement concernant les rotation de R^3, en particulier les composer (c'est un groupe). Par exemple avec les quaternions, on a une définition "plus simple".
Sinon et pour finir, il y a évidement des tonnes et des tonnes de truc à dire concernant le groupe des rotations de R^3 (qu'on note SO(R^3) ou SO3(R) ou O+(R^3) ou un truc du même style )

- Sinon, si ce que tu cherche c'est "un truc" qui te donne un orthogonal du vecteur (a,b,c), alors Pseuda t'a déjà répondu : dans R^3 l'ensemble des éléments orthogonaux à un vecteur donné, c'est un plan vectoriel donc un truc de dimension 2 et tu as évidement pas de vecteur "représentant caractéristique" de ton plan.
Une petite question intéressante et très basique d'algèbre linéaire, c'est par exemple de regarder si, partant d'un vecteur non nul U=(a,b,c) est-ce que les vecteurs V1=(-b,a,0) et V2=(0,-c,b) (qui sont clairement orthogonaux à U) forment systématiquement une base de l'orthogonal de U ?

- Par contre, y'a bien un truc qui existe dans R^3 qui "généralise" le (a,b)->(-b,a) de R^2 : si tu te donne deux vecteurs U1,U2 de R^3 non colinéaires, alors là, l'orthogonal de {U1,U2} est une droite vectorielle donc on peut espérer trouver un vecteur unique qui dirige cette fameuse droite.
Voit tu quel est le calcul "classique" qui permet de trouver un tel vecteur ?
Et si ça t'intéresse, tu peut chercher (c'est pas super difficile, mais pas trivial non plus) à généraliser le bidule : étant donné n-1 vecteur U1,U2,...U(n-1) (supposés libres) de R^n, quel calcul permet de trouver un vecteur V non nul orthogonal à tout les Ui ?

Merci ben pour toutes ces explications;

Alors pour repondre aux questions que tu m'as posées:

Pour V1, V2, vu que l'on a que deux vecteurs ils suffit qu ils ne soient pas colinéaires, si b est différent de 0 ces deux vecteurs ne seront jamais colinéaires. c'est ok?

Pour le calcul "classique" je pense au produit vectoriel de U1 et U2 qui me donnera un vecteur orthogonal a ces deux derniers au signe pres. Ok?

Pour la derniere question je pense à l orthogonalisation de Gram-Schmidt. Mais c est tres long selon la valeur de n.