J aurai une petite question
Quand on demande "trouver un équivalent de
Avec d(k) le nombre de diviseurs positifs de k
Que signifie "un équivalent" et y a t il une méthode particulière pour trouver cet équivalent svp
Merci de vos réponses
Question équivalent
7 messages
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Question équivalent
par LjjMaths » 09 Mar 2017, 07:55
Bonjour,
J aurai une petite question
Quand on demande "trouver un équivalent de)
"
Avec d(k) le nombre de diviseurs positifs de k
Que signifie "un équivalent" et y a t il une méthode particulière pour trouver cet équivalent svp
Merci de vos réponses
J aurai une petite question
Quand on demande "trouver un équivalent de
Avec d(k) le nombre de diviseurs positifs de k
Que signifie "un équivalent" et y a t il une méthode particulière pour trouver cet équivalent svp
Merci de vos réponses
Re: Question équivalent
par Ben314 » 09 Mar 2017, 13:01
Salut,
Deux suites_n)
et _n)
sont dites "équivalentes" lorsque 
.
Et si le question est effectivement de "donner un équivalent de" et c'est tout, alors il faut pas se faire chier et répondre "un équivalent de c'est _n,)
" qui est une réponse on ne peut plus correcte à la question posée. Bref, en général on pose la question "donner un équivalent simple de " voire même "donner un équivalent de la forme ??? ".
Concernant l'exo, tout est archi. classique (mais si on l'a jamais vu, forcément c'est pas évident...) :
- On commence par "inverser la double somme" (le nombre de truc qui ... c'est jamais qu'une somme de 1) en se posant la question "à l'envers" : pour un
donné entre 1 et 
, il y a combien de 
pour lesquels le en question va être un diviseur de (donc compter "+1" dans le nombre de diviseurs de )
- Ensuite tu obtient une nouvelle somme avec des parties entières et, évidement, tu va te dire que la partie entière de
, c'est "environ" de façon à rendre la somme plus agréable.
Bien sur, il faut évaluer (= majorer) l'erreur commise lors de cette approximation.
- Enfin, la dernière somme que tu obtient, il faut l'approximer à l'aide d'une intégrale pour avoir une idée approximative de sa valeur et de nouveau, il faut évaluer (=majorer) l'erreur commise lors de cette approximation.
A toi de jouer.
P.S. Tu doit trouver que est équivalent à \big)_n)
.
Deux suites
Et si le question est effectivement de "donner un équivalent de
Concernant l'exo, tout est archi. classique (mais si on l'a jamais vu, forcément c'est pas évident...) :
- On commence par "inverser la double somme" (le nombre de truc qui ... c'est jamais qu'une somme de 1) en se posant la question "à l'envers" : pour un
- Ensuite tu obtient une nouvelle somme avec des parties entières et, évidement, tu va te dire que la partie entière de
Bien sur, il faut évaluer (= majorer) l'erreur commise lors de cette approximation.
- Enfin, la dernière somme que tu obtient, il faut l'approximer à l'aide d'une intégrale pour avoir une idée approximative de sa valeur et de nouveau, il faut évaluer (=majorer) l'erreur commise lors de cette approximation.
A toi de jouer.
P.S. Tu doit trouver que
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Question équivalent
par LjjMaths » 09 Mar 2017, 19:24
Salut,
Merci de ta reponse
Du coup si je ne dis pas de bêtise, le FAit qu'on ajoute 1 pour chaque entier (compris entre 1 et) divisible par un 
donné entre1 et , cela revient à compter les multiples compris entre 1 et d un donné entre 1 et
Or le nombre de diviseur de compris entre 1 et est )
On a donc=\sum_{k=1}^{n}d(k)=\sum_{k=1}^{n}E(\frac{n}{k}))
Apres si j ai bien compris, on evalue l erreur
On a\leq \frac{n}{k})
Soit\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{k}=n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n})
Mais je sais pas si on peut appeler ca évaluation de l erreur puisqu on fait Que majorer)
Jusque là c'est bien ca ?
Merci de ta reponse
Du coup si je ne dis pas de bêtise, le FAit qu'on ajoute 1 pour chaque entier (compris entre 1 et
Or le nombre de diviseur de
On a donc
Apres si j ai bien compris, on evalue l erreur
On a
Soit
Mais je sais pas si on peut appeler ca évaluation de l erreur puisqu on fait Que majorer
Jusque là c'est bien ca ?
Modifié en dernier par LjjMaths le 09 Mar 2017, 20:41, modifié 1 fois.
Re: Question équivalent
par zygomatique » 09 Mar 2017, 19:40
salut
1 - n/k risque d'être négatif ...
RAP : pour tout x : E(x) =< x < E(x) + 1
1 - n/k risque d'être négatif ...
RAP : pour tout x : E(x) =< x < E(x) + 1
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
Re: Question équivalent
par LjjMaths » 09 Mar 2017, 20:39
Ah oui en effet merci j y avais pas penser mais dans tous les cas la majoration reste la meme
Apres je pense qu on peut minorer
par -ln(n))
avec l intégrale de 
mais je vois pas a Quoi ça sert et je vois pas non plus ou est ce qu on estime l erreur
Apres je pense qu on peut minorer
Re: Question équivalent
par Ben314 » 09 Mar 2017, 22:13
1) Effectivement, pour un 
fixé, il y a )
entiers 
tels que soit un diviseur de et ça prouve que \!=\!\sum_{\ell=1}^{n}\!E\big(\frac{n}{\ell}\big))
.
2)
doit donc être "relativement proche" de 
.
Concernant l'erreur, on part de\!\leq\!\frac{n}{\ell}\!<\!E\big(\frac{n}{\ell}\big)\!+\!1)
qu'on somme pour 
et on a 
.
3) Ensuite, la fonction
est décroissante sur 
donc pour tout 
, on a :
. On a donc \!=\!\int_{1}^{n}\!\!\frac{dx}{x}\!\geq\!\sum_{\ell=2}^{n}\!\frac{1}{\ell}\geq\!\int_{2}^{n+1}\!\!\frac{dx}{x}=\ln(n\!+\!1)\!-\!\ln(2))
ce qui signifie que \big)\!\geq\!V_n\!\geq\!n\big(1\!+\!\ln(n\!+\!1)\!-\!\ln(2)\big))
4) On a donc\!-\!\ln(2)\big)\!\leq\!V_n\!-\!n\!<\!U_n\!\leq\!V_n\leq\!n\big(1\!+\!\ln(n)\big))
c'est à dire \!-\!\ln(2)}{\ln(n)}\!<\!\dfrac{U_n}{n\ln(n)}\!\leq\!\dfrac{1\!+\!\ln(n)}{\ln(n)})
ce qui prouve (th. des gendarmes) que }\!=\!1)
c'est à dire que la suite_n)
est équivalente à .
2)
Concernant l'erreur, on part de
3) Ensuite, la fonction
4) On a donc
c'est à dire que la suite
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