Limite monotone

[LjjMaths]

Bonjour,
Suite à un post hier je me suis posé une question (sûrement bête mzis je vois pas)

Comment montrer qu une suite croissante ne peut que converger ou diverger vers l infini sans faire appel au FAit qu elle soit majorée ou pas ?

En d autre terme est ce que la définition de limite permet de montrer qu une suite croissante ne peut pas ne pas avoir de limite (fini ou non) ?

Merci d avance

[zygomatique]

salut

en passant par l'artifice des série ...

soit une suite croissante

pour tout entier n :

on a une somme de termes positifs (somme des écarts de deux termes consécutifs) car la suite est croissante et il y a deux cas :

cette série est finie (la limite de la somme est finie) et la suite converge

cette série est infinie (la limite de la somme est infinie) et la suite diverge (tend vers +oo)

PS : sans oublier qu'on est dans un espace complet car par exemple est une suite croissante, majorée ... et qui n'a pas de limite dans Q ....

[Ben314]

Salut,
Le problème c'est de savoir ce que tu veut dire par "sans faire appel au fait qu'elle est majorée".
Si tu écrit la définition même de ce qu'est une suite convergente vers :

Ben déjà, cette définition contient en elle même la notion de "suite majorée".
Idem (voire encore pire) concernant la définition même de ce qu'est une suite qui ne tend pas vers l'infini qui te dit très très très exactement qu'il existe une suite extraite majorée.

Bref, je vois pas comment éviter d'utiliser le concept de "suite majorée" dans la preuve vu qu'il est déjà préexistant dans les définition que tu compte employer.
Aprés, si l'objectif est uniquement de ne pas employer les mots "suite majorée", c'est sûr qu'il y a moyen...
- Au minimum en disant que cet exercice là, on va écrire "suites TRUCMUCHE" à la place de "suite majorée"...
- Autre solution : tu dit que "c'est un résultat connu" : tu n'a pas employé le terme "suite majorée"
- Troisième solution : tu utilise un théorème bien plus balaise que nécessaire (qui dans sa preuve utilise la notion de "suite majorée") mais toi tu n'utilise pas les mots eux même (c'est très exactement ce que fait zygo ci dessus...)

[LjjMaths]

Merci pour vos réponses !
En FAit j aimerais montrer qu une suite croissante non majorée diverge vers +oo en sachant d une part qu une suite croissante non majorée ne converge pas vers une limite finie puis en montrant d autre part qu une suite monotone admet forcément une limite (finie ou pas)et Que, comme cette limite n est pas finie, la limite ne peut être qu infinie

Sauf que je vois pas démontrer le truc en bleu

Bien sur je pourrais utiliser le théorème de limite monotone en disant que si une suite croissante est majorée alors elle converge et Que si elle n est pas majorée alors elle diverge sauf que la proposition en rouge est celle que j aimerais démontrer

[LjjMaths]

Apres je peux aussi montrer ca simplement en supposant que ma suite croissante et non majorée converge
On pose alors un entier M quelconque supérieur à la limite
Or M ne majore pas la suite donc pour tout n>M , Un>M
Et du coup, comme M est aussi grand que l on veut, la suite croissante et non majorée diverge vers +oo

Sauf que j aimerais bien montrer ca en montrant qu une suite croissante et non majorée ne converge pas vers une limite finie. Et ensuite on montre que cet suite admet forcément une limite puisqu elle est monotone
Et comme cette limite n est pas finie alors elle ne peut être que infinie

[zygomatique]

oui comme je le disais et que précise Ben314 j'utilise un artifice ... qui utilise sans le dire ...

mais j'ai l'impression que tu surchauffes pour rien ... puisque comme le dit ben la définition de la limite fait intervenir la notion de majoration/minoration

pour toute suite croissante il y a deux cas :

soit il existe un réel m tel qu'il existe un entier n tel que u_n > m et alors par croissance de la suite pour tout entier p >= n : u_p > m

puis on recommence avec un entier m' > m ... jusqu'à l'infini (si la suite n'est pas majorée et donc converge vers +oo)

soit il existe un réel m tel qu'il existe un entier n tel que pour tout p >= n : u_n < m (et vu la croissance de la suite ici n = 0)

[LjjMaths]

Hummm je vois je vois
Bon ben je vais faire comme ca alors
Merci

[Pseuda]

Bonsoir,

Sinon, il y a aussi le concept de borne supérieure dans la droite numérique achevée. Toute suite croissante tend vers la borne supérieure de l'ensemble de ses termes, limite qui peut être finie ou infinie.

Mais pour la démonstration, je crois bien qu'il faut quand même distinguer les 2 cas.

[Ben314]

De toute façon, vu qu'y compris à la Fac. (en tout cas pour ce que j'en connais), on ne construit plus les réels, il faut admettre des résultat (ou les prendre comme axiomes, ce qui revient au même).
- Au Lycée, on prend "toute suite croissante et majorée" admet une limite (finie)".
- A la Fac., on prend "toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure (finie)"

Et dans les deux cas, ben faut que le bidule soit majoré...

[Pseuda]

Bonjour,

J'ai vu passer (dans un vieux livre) qu'on admet que toute partie de R non vide et non majorée admet + infini pour borne supérieure (dans la droite numérique achevée).

Mais d'un autre côté, je trouve ça bizarre que l'on dise qu'une suite non majorée admet une borne supérieure, étant donné que la propriété la plus caractéristique de la borne supérieure c'est d'être un majorant. Donc on s'embrouille pour pas grand-chose au final ???

[Ben314]

Oui et non : pédagogiquement parlant, ça me semble on ne peut plus normal de bien bien différencier :
- Le cas des limites finies et celui des limites infinies : définitions différentes et propriétés pas complètement identiques. (par exemple bien insister sur le fait qu'une suite "convergente" ça signifie systématiquement et sans ambigüité qu'elle converge vers une limite finie)
- Le cas des borne supérieure finies de celui des bornes supérieures infinies ou de nouveau les définition sont différentes (Sup=+oo <=> (def) non vide et non majoré)

Mais d'un autre coté, on peut parfaitement considérer l'ensemble Ru{-oo,+oo} qu'on muni naturellement d'une relation d'ordre et considérer dans cet ensemble là la notion de majorant/maximum/borne sup et constater que tout fonctionne correctement.
Par contre, LE problème dont il faut parfaitement être conscient, c'est que sur cet ensemble là, on n'a plus de structure algébrique donc ce qu'on gagne en simplicité concernant les définitions, on va le perdre dans pas mal de théorèmes où il faudra à chaque fois distinguer les cas pour savoir si on a le droit ou pas de parler de la somme, du produit, etc... d'éléments de cet ensemble.

Perso, au moins au niveau pédagogique, je pense préférable de ne pas introduire trop tôt Ru{-oo,+oo} vu que tu prend l'énorme risque que les étudiants fasses des calculs sans précautions dans cet ensemble.

[Pseuda]

Merci Ben ! En effet, ce qui différencie la borne sup +oo d'une borne sup finie, c'est que celle-ci c'est le plus petit des majorants, tandis que la borne sup +oo, il n'y a pas d'autre majorant dans un ensemble considéré comme plus grand.

Et pour la borne sup +oo, on ne peut plus écrire ce qui caractérise la borne sup finie, à savoir : pour tout e>0, il existe un y dans l'ensemble considéré tel que M-e<=y<=M.

Donc effectivement la considération de cette borne sup +oo est quand même un peu bâtarde.