Démonstration du sinus de pi / 3

[yann06]

Bonsoir à tous , à toutes

je suis en train d'apprendre les sinus des ANGLES PRINCIPAUX

je commence par le sinus de

est ce qu'il faut que je démontre que j'ai un triangle équilatéral puis un triangle rectangle ?


Pouvez vous m'aidez pour cette démonstration assez simple

[Tiruxa47]

Bonsoir,
On considère un triangle équilatéral de côté a (ou 1 si tu préfères)
On trace une hauteur on obtient deux triangles dits semi équilatéraux.
Dans un de ces triangles les angles ont pour mesures 60°,90° et 30°
Détermine alors les longueurs des côtés puis le sinus cherché.

[yann06]

Bonsoir Tiruxa 47 ,

les longueurs des cotés OA = OC = AC = 1 ( rayon du cercle frigo )

OI = 1 (rayon du cercle Trigo )
je prends un point A du cercle à n 'importe quel endroit du cercle et j'aurais toujours OA = OI
mais comment je démontre que OA = OI = AC

Peux tu m'aider ? s'il te plait

yann

[Ben314]

Salut,

je prends un point A du cercle à n 'importe quel endroit du cercle et j'aurais toujours OA = OI
mais comment je démontre que OA = OI = AC

C'est une blague ?

[yann06]

non , je ne me permettrait pas

mais , dans ce genre de démonstration , je tourne en rond et je me perds dans la démonstration

[yann06]

oui , en disant : à n'importe quel point du cercle --> OA serait toujours égale à OI
je me perds dans ce que je veux démontrer

[yann06]

on considère un triangle équilatéral OAI
on trace la médiatrice de OI qui est la hauteur de OIA et me donne deux triangles rectangles
j'appelle C le milieu de OI

seulement , je ne vois pas comment je définis que OAI est équilatéral ??

est ce qu'il faut démontrer que OAI est un triangle équilatéral ??

[Tiruxa47]

J'ai l'impression que pour toi une démonstration est quelque chose de très très flou... alors que cela doit être extrêmement précis.
On a des éléments donnés dans l'énoncé qui sont des hypothèses (ici OAI équilatéral) . Elles sont donc vraies et n'ont besoin d'aucune justification.
Ensuite en les utilisant, grâce à un théorème adéquat, on obtient une conclusion.
Donc ton triangle est équilatéral parce que tu l'as construit ainsi et puis c'est tout !!

[Ben314]

on considère un triangle équilatéral OAI
est ce qu'il faut démontrer que OAI est un triangle équilatéral ??

Un de mes grand leitmotiv, c'est que, lorsque l'on emploie des mots (ou symboles) en math ou en Français, c'est en général pas con d'en connaitre le sens (i.e. la définition).
En l'occurrence, ça aurait été judicieux de regarder dans un dico. (ou de demander à quelqu'un) quel est le sens du verbe "considérer", histoire de comprendre que dans ce type de contexte, il signifie que ce qu'il y a d'écrit derrière est supposé vrai, donc bien évidement pas à démontrer.

Par exemple, lorsque tu lit "considérons un pays d'Europe", ben tu n'as pas à te poser la question de savoir si le pays en question est ou n'est pas en Europe, on te dit qu'il y est.

[yann06]

Bonsoir
merci à BEN et à TIRUXA

je reprends avec

je prends le point A du cercle tel que A appartienne à la médiatrice de [OI] ,j'appelle C le milieu de OI
cette médiatrice est AC
( elle est importante car elle va me donner le coté opposé pour calculer le sinus )
on a OI = OA = 1 donc le triangle OIA est isocèle
et comme A a été pris sur la médiatrice , on a OA = AI
en conséquence , si OI = OA et OA = AI alors OI = OA = AI
le triangle AOI est équilatéral ---> le voilà , mon triangle équilatéral

le triangle ACI est rectangle , la médiatrice est aussi hauteur du triangle
maintenant , je calcule la valeur de AC avec le Thèorème de Pythagore


comme




et comme AC est une longueur donc une valeur positive

maintenant sinus AOC =

le sinus de est bien

[Ben314]

Oui, c'est ça.
A la limite, lorsque tu en est à OC=1/2 et/ou AC=rac(3)/2, il y a un vague truc à dire pour en déduire que ce sont le cos et le sin de l'angle.
Autant comme tu le dit AC est une longueur donc est forcément positive, autant le sin et le cos ne sont pas des longueurs mais des coordonnées dont peuvent être positif ou négatif.
Je pense qu'au niveau Lycée, la seule explication raisonnable est "comme pi/3 est entre 0 et pi/2 on voit bien sur le dessin que le sin et le cos sont positifs dans ce cas".