Algèbre linéaire ( un exercice )

[Alpeys]

Bonjour à tous, voilà l'énoncé:
Soit n supérieur ou égal à 1. On note (E1....En) la base canonique.

Pour i = 1,...n-1 , on pose: Ci= Ei - E(i+1)
et Cn=En-E1.

1/ Montrer que la famille n'est pas libre.
Facile, somme des Ci=0 donc combinaison non triviale qui vaut 0.

2/ Montrer que (C1,..,C(n-1)) libre, c'est fait, sans problème par itération.

3/ Montrer que: Vect(C1,...Cn)={ les vecteurs x tels que Somme(Xi)=0}

Je bloque ici: j'ai montré que Vect(C1,...Cn) = Vect(C1,...,Cn-1) de dimension n-1.
Ensuite, j'ai établi que Vect(C1,...Cn-1) engendre un ensemble P, et que cet ensemble P est de la même dimension
que l'ensemble H défini par: { les vecteurs x tels que Somme(Xi)=0} = n-1

Et ensuite je n'arrive pas à montrer que P est inclus dans H, ce qui achèverait la démonstration.
Cordialement,
Alpeys.

[Pseuda]

Bonjour,

Il suffit de montrer que tout vecteur de coordonnées (a1, a2, ..., an-1) dans (C1, ...., Cn-1) et de coordonnées (x1,..., xn) dans la base canonique, vérifie x1=a1, x2=a2-a1, ... , xn-1= an-1 - an-2, xn = - an-1, et d'additionner.

[aviateur]

Bjr, "j'ai établi que Vect(C1,...Cn-1) engendre un ensemble P, " il faut corriger le mot "ensemble" par (sous) espace vectoriel. Si j'admets ce que tu dis alors c'est quasi fini.
En effet tout vecteur C_i est clairement ds H. Donc toute combinaison linéaire aussi, i.e. P est inclus ds H.

[zygomatique]

multipost : superieur/algebre-lineaire-exercice-t183165.html

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