Convergence intégrale impropre incomplète

[Irrot]

Hello,
petite question! Je dois étudier la converge de cette intégrale pour tout a>0


j'ai donc procédé comme suit:
Pour a=0;
= ln(1+x) dont l’évaluation diverge. De même pour tout a>0. ( je ne suis pas sûr du pourquoi)
Donc, suspicieux je me suis quand même attaqué aux a<0 (indépendamment de l'énoncé).
Pour a<0;
Soit b=-a;
= = <= = = = = 0 pour tout b>0 donc a<0. Cependant, le corrigé dit que l'intégrale converge pour tout -1<a<0.

J'ai tracé le graphe et, en effet, c'est vrai. Je ne comprend pas très bien comment choisir les "a" à évaluer ni pourquoi mon calcul n'est vrai qu'à moitié (et encore... c même pas dit qu'il soit correct)

Bref si quelqu'un peut m'aider je le remercie d'avance

ps: pas si petite que ça la question finalement...

[Ben314]

Salut,

...ni pourquoi mon calcul n'est vrai qu'à moitié (et encore... c même pas dit qu'il soit correct)

Si, c'est plus ou moins correct. En tout cas la conclusion est correcte, mais la rédaction laisse franchement à désirer, par exemple lorsque tu écrit que l'intégrale de 0 à +oo de dt/(1+t) est égale à ln(1+x), c'est n'importe quoi (d'où sort ce x ?)

Sinon, ton calcul est "à moitié vrai" parce que tu n'as fait que... la moitié du travail...
L'intervalle [0,+oo[, il a certes une extrémité en +oo, mais il a aussi une extrémité en 0 et il faudrait peut être songer à regarder ce qui se passe au voisinage de 0 lorsque a<0 où t^a tend vers +oo lorsque t tend vers 0. . .

[Irrot]

oui bon, ça m’embêtait un peu de faire tu latex pour ça. Je suppose qu'on comprend qu'il s'agit de :
=

il faudrait peut être songer à regarder ce qui se passe au voisinage de 0 lorsque a<0 où t^a tend vers +oo lorsque t tend vers 0. . .

ça par contre j'ai pas compris. Veux tu dire qu'il faut que je fasse:

[Ben314]

Certes, cette intégrale là diverge en 0, mais comme c'est uniquement un majorant de l'intégrale de départ :

= = <= . . .

ben ça prouve pas du tout que celle de départ diverge aussi en 0 (là plupart du temps, ce que ça prouve surtout, ben c'est... qu'on a pas majoré correctement....)

[Irrot]

ahhh bah voilà XD donc mon calcul est tout faux haha. Mais par quoi puis-je majorer? car si je choisi l'intégrale de Riemann elle converge que pour a>1 ce qui contredit pour tout a<0... Et si je ne majore pas, je n'ai aucune idée de comment trouver une primitive. et de plus, 1/(1+t) diverge aussi

[ntag]

On peut commencer par regarder comment la fonction sous l'intégrale se comporte en 0 et en +infini.

En 0, elle se comporte comme t^a. t^a est intégrable au voisinage de 0 ssi a > -1.
En +infini, elle se comporte comme t^a/t = t^(a-1) qui est intégrable au voisinage de +infini ssi a-1 < -1, ssi a < 0.

Ça c'est juste pour l'intuition, et pour voir qu'on a deux comportements différents.

Une idée est donc de couper l'intégrale en deux :



Puis ensuite, on s'occupe de chacune des deux parties séparément, en les majorant différemment. Par exemple, pour la première entre 0 et 1, on va majorer par t^a, et pour la deuxième, on va majorer par t^(a-1). Et on trouve donc que pour a entre -1 et 0 ça converge.

Il resterait à montrer que quand a < -1 l'intégrale diverge.