Limite de suites

[Gonraphl]

Bonjour, je bloque sur quelques exercices. Je dois montrer si ces suite sont convergente ou divergente et dois trouver la limite si la suite est convergente.





2nd exo:

P est une fonctions polynomiale de R dans R, ie avec .

Zn une suite réels supposée convergente
Je dois montrer que Lim P(Zn) = P(Lim Un) en l'infini puis avec une fonction continue f de R dans R. De même mais pour une fonction de C dans C.


Ce que je j'ai fait:

1) est une suite oscille entre -1 et 1.
En niant la défnition de la convergence d'une suite, on a:
et
En prenant et en se plaçant dans le cas où Sin(n^3) vaut sa borne supérieur :
on Contradiction, donc cette suite n'a pas de limite.
Je vois pas comment le montrer.

2) Pour Sn, j'ai extrait 2 suites: et :
a)
b)

a):

tend vers +infini car

De même b) tend vers -infini en majorant par

Donc diverge et n'a pas de limite.

3) Pour , j'ai pas trop d'idée. Je dois le montrer sans utiliser le théorème des séries alternées étant donnée qu'on étudie pas les séries cette année.

Pour le 2nd exo:
Vu que c'est une égalité, je dois le prouver dans les 2 sens:
Soit L la limite de ,


Dans l'autre sens:


Avec une fonction continue:

Supposons que tendent vers a, il existe N dans l'ensemble des entiers tel que



On a alors:


donc Lim f(un) = f(lim Un) = f(a)
Je sais pas comment montrer dans le sens indirect/la réciproque.

Merci d'avance.

[aviateur]

Bonjour, voici quelques réponses.
1. Pas d'accord sur la justification :
"et en se plaçant dans le cas où Sin(n^3) vaut sa borne supérieur " cela ne veut rien dire.

2. L'ide est là mais cela manque de rigueur comme par exemple
" (et si k<=0?"

3. Pour pouvez malgré tout calquer la démo des séries alternées sur votre exemple.
Pour la limite c'est une autre histoire!