Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

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Anis1801
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Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 23 Fév 2017, 17:19

Bonjour et desolé pour la qualité de l'image. Je galere un peu avec ces exos jai quelque questions à poser.

Pour l'exo 2 l'image de l'application f c'est pas juste la matrice colonne?

Merci
Fichiers joints
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aviateur
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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 23 Fév 2017, 17:33

f est une application de U dans R^3. Ce que l'on appelle image de f (noté f(U) c'est l'ensemble des éléments de R^3 qui ont au moins un antécédent ds U par f. On a f(U) inclus ds R^3.
Maintenant ici on a f(U)=R ^3

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 23 Fév 2017, 17:56

hm.. ils veulent que je pose x,y,z au lieu du vecteur U pour voir qu'elle est l'image ? enfin pour moi c'est evident que l'image c'est le vecteur f(U) ou alor ils veulent que je fasse un changement de coordonnée polaire?
merci

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 23 Fév 2017, 18:08

Non, rien de tout cela. Si je peux vous aider c'est d'abord de vous dire qu'il faut bien comprendre la question avant de pouvoir y répondre. D'abord U n'est pas un vecteur. C'est un ensemble (qui ici n'est pas un e.v) donc ne parlons pas de vecteur. La question revient à savoir quand (r,\tetha,\phi) parcourt U que parcourt f(r,\tetha,\phi)?
Je pense qu'une première étape est de comprendre la question. Ensuite on pourra chercher à y répondre.

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 23 Fév 2017, 18:26

Aaaaaaaaaah Merci beaucoup ! J'ai bien compris la question maintenant je suis pas sure de l'image f(u) pour le trouver je me suis servit du maximum et minimum des Ensemble par l'application.
J'ai trouvé que :
L'image f(r\tetha,\phi) parcours l'ensemble ]0,+inf[ x ]0;+inf[ x ]1;+inf[

mais je ne suis vraiment pas sure de ce que j'ai trouvé

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 23 Fév 2017, 18:33

Non la réponse c'est R^3 (tout entier). Ce n'est pas très compliqué à justifier mais par mail c'est un peu difficile.
Ceci étant dit f(r,\tetha,\phi) sont les coordonnées sphériques d'un point de R^3.
Pour comprendre que votre réponse n'est pas correcte (i.e [0,+inf[x]0;+inf[x]1;+inf[ ce n'est pas cela.) si j'appelle x la première composante de l'image, pour vous x parcourt [0,+inf[ dc est positive. Alors que l'on voit bien que x peut aussi prendre des valeurs négatives

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 23 Fév 2017, 18:41

Ah oui vous avais raison ici f parcours R^3 tout entier parce que sinus et cosinus peuvent prendre des valeur negatif ou nul pour le cosinus merci ! Du coups l'ensemble de définition de f est R^3 tout entier si j'ai bien tout compris et pour trouver sa on s'interesse à l'ensemble de définition de départ par l'application f

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 23 Fév 2017, 18:44

Votre façon de répondre me montre que vous n'avez pas compris. L'ensemble de départ c'est U.
L'ensemble d'arrivée c'est R^3.
On vous demande f(U). f(U) est inclus dans R^3 mais ici la réponse c'est f(U)=R ^3.!!!

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 23 Fév 2017, 18:56

Et pour montrer que f(U)=R^3 on doit faire varier les valeurs de U et observer les valeurs prise par f(U) et comme les valeurs prise par f(U) sont dans R3 On a donc f(U)=R^3?

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 23 Fév 2017, 19:25

En fait si (x,y,z) \inR^3, il faut monter que il existe (r,\tetha,\phi)\in U tel que f(f(r,\tetha,\phi)=(x,y,z).
C'est comme si vous aviez un système de 3 équations à 3 inconnues.
Posez le système puis pour commencer à le résoudre je vous invite à calculer x^2+y^+z^2 qui doit se simplifier.

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 23 Fév 2017, 23:59

Pour x^2+y^2+z^2 j'ai trouver r^2 comme résultat ! Je sais pas trop si c'est bien Sa ? Merci beaucoup de votre patience

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 24 Fév 2017, 00:30

oui, donc r=sqrt(x^2+y^2+z^2) et r>0 (il faut corriger un peu ce que j'ai dit car U=]0,..[ x...
r=0 est exclus . La réponse sera alors R^3-{(0,0,0)}
ensuite on continue à résoudre le système, on doit pouvoir trouver \phi et \theta assez facilement.

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 24 Fév 2017, 00:44

Je peux le déterminer À partir du système avec x,y et z et de la relation trouver
Ou uniquement à partir de La relation trouver?
Parce que je ne vois pas trop comment isoler téta et phi ici

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 24 Fév 2017, 00:55

on a déjà trouver l'expression de r et r>0 (si (x,y,z)\neq 0. Donc la 3ème équation donne \phi: car
cos(\phi)=z/r=(r/sqrt(x^2+y^2+z^2). Donc \phi =arcos (r/sqrt(x^2+y^2+z^2) \in [0 2\pi] est solution.
Encore une fois je me rend compte que l'intervalle (0 2\pi) est ouvert, donc il faudra exclure z/r=+-1 dans la réponse finale.

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 24 Fév 2017, 01:10

Et téta = Arcsin(y/rsin(phi)) ?
Dû coups on a x, y , a l'image de l'application et son ensemble de définition c'est R^3-{0,0,0} mais je ne vois pas pourquoi on doit exclure +ou - 1 dans le cas de z/r=cos(phi)

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 24 Fév 2017, 03:36

oui et non. La réponse doit dépendre de (x,y,z). Mais avant de continuer il me semble qu'il y a une confusion entre \theta et \phi. D'après l'énoncé c'est _theta=arccos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2). Comme \theta doit e^tre différent de 0 où \pi, il faut éliminer z/sqrt(x^2+y^2+z^2)=+-1 c'est à dire (x,y)=(0,0).
Pour trouver le dernier angle, on cherche l'angle \phi ds ]0 2pi[
qui vérifie tan(\phi)=y/x et cos(\phi) a le même signe que x (car rsin(teta)>0).



A ce niveau de l'exercice, grosso modo, nous avons fait les calculs nécessaires à la résolution du problème.
Mais il n'est pas résolu pour autant. La bonne réponse ne peut se faire qu'en disant tout correctement comme ceci.
D'abord faisons la synthèse du calcul. On a résolu l'équation f(r,phi,theta)=(x,y,z)
pour trouver
r=\sqrt(x^2+y^2+z^2) phi=arccos(z/sqrt(x^2+y^2+z^2)) et \theta=arctan(y/x) mais ceci
pour (x,y,z)\neq(0,0,0) et x\neq 0.
Mais faut aussi que la solution soit dans U.
1. C'est à dire r>0 (c'est le cas ici)
2. \phi\]0,pi[, c'est à dire que cos(\phi) ne doit pas ^étre égal à +-1 . Donc z\sqrt(x^2+y^2
\phi\in ]0 ,\phi[

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 24 Fév 2017, 22:23

Moi j'obtient:

r= sqrt()



Du coups r different de 0, ensuite je dois utiliser le domaine de definition de Arcsin?


Du coups pareil r different de 0 et je dois la encore utiliser le domaine de définition de Arcos?

Enfete je vois pas trop comment vous avez trouver vos egalité nottament celle avec arctan j'ai pas reussit a retrouver sa du coups j'ai juste isoler a partir du systeme j'espere que c'est bon, merci !

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 24 Fév 2017, 22:40

Oui c'est bon si on veut. C'est à dire que l'inconnue c'est (r, \phi,\theta). Donc je pense que c'est mieux d'exprimer
(r, \phi,\theta) en fct de (x,y,z) uniquement. Pour trouver \phi j(ai calculé y/x pour éléminer \theta.

Sinon gardons votre solution. Mais alors il faut donner la solution dans cet ordre :
r puis \theta puis \phi.
r>0. \theta \in ]0, pi[.

Pour \phi on peut faire + simple . On écrit (x,y) en coordonnées polaire.
x=r' cos(\phi) y=r' sin(\phi) avec r'^2=x^2+y^2=r^2sin^2(theta)

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par Anis1801 » 25 Fév 2017, 16:22

Heu je vois pas trop pour Phi..

on part de qu'elle expression?

Moi je trouve juste:

x=r'cos(phi) y=r'sin(phi)

r'²=x²+y²=(r'cos(phi))²+(r'sin(phi))²=(r'²(cos(phi)²+sin(phi)²))=r'²

merci

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Re: Différentiabilité / Jacobienne / Différentielle matrice

par aviateur » 25 Fév 2017, 20:09

Je résume on a trouvé r et theta.
Pour trouver \phi on a les 2équations x= r sin(theta) cos(\phi) et y= r sin(theta) sin(\phi) .
Cela implique que x^2+y^2=rsin(theta)^2. On pose r'=rsin(theta)=sqqrt(x^2+y2) (qui est positif)
Donc on cherche \phi tel que x=r' cos(\phi) et y=r' sin(\phi). L'angle \phi est donc l'angle qui correspond au coordonnées polaires (r',\phi) du couple (x,y).

 

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