Représentation linéaire

[Archytas]

Salut,
Si on considère la représentation naturelle de dans (chaque transposition qui permute les éléments de la base canonique). Alors elle est réductible puisque est stable. Donc on peut considérer la représentation quotient dans qui est de degré 3. On sait par ailleurs qu'il y a 2 représentations irréductibles de degré 3. A vue de nez, quotientée, elle a l'air irréductible cette représentation. Mais comment savoir si c'est la représentation issue de l'isomorphisme entre et les isométries laissant stables le tétraèdre ou celle des isométries positives laissant stable le cube ? (ou alors elle est toujours pas irréductible).
Autre chose ; si on arrive facilement à construire des représentation irréductibles comme ça (par quotients successifs jusqu'à avoir quelque chose d'irréductible), pourquoi on passe très souvent par l'action de groupe par isométries sur des objets géométriques ? Je comprends que c'est plus élégant mais ça gêne quand même ?
Encore autre chose ; il est écrit dans un livre que a un sous groupe distingué isomorphe au groupe de Klein (Z2xZ2) (qui seraient les produits de transpositions à support disjoint). Déjà je ne vois pas comment montrer que ce sous groupe est distingué dans et ensuite il est écrit que ainsi en quotientant par celui ci on obtient et donc une représentation irréductible de de degré 2. Là je vois pas bien non plus ni géométriquement ni algébriquement comment ça se passe.
Vous auriez des pistes ?

[Ben314]

Salut,
Le reste, je sais pas si je sais facilement répondre, mais le fait que S4 ne soit pas simple, c'est à dire admette un sous groupe distingué contrairement aux Sn avec n>=5 c'est du archi archi archi clasique vu que c'est ça qui explique qu'on sait résoudre les équations de degré 4 par radicaux alors qu'au delà on sait pas.
Et ce groupe, il est simplement constitué de l'identité (évidement...) et des 3 "double deux cycles" (12)(34) ; (13)(24) et (14)(23) qui sont évidement d'ordre 2 et le "petit miracle", c'est que le produit des deux premiers donne le troisième ce qui suffit à prouver que c'est un sous groupe.
Par contre, le fait qu'il est distingué, c'est complètement évident vu que les conjugués d'un "double deux cycle" sont des doubles deux cycles et qu'on les a tous pris (*).

Sinon, concernant ton GL(R^4)/D, ça veut absolument rien dire : D c'est un s.e.v. de R^4 et tu risque pas de quotienter le groupe GL(R^4) par D.
Donc j'espère que c'est une faute de frappe et que c'est GL(R^4/D) que tu voulais taper (en plus les quotients, je pense pas que ce soit malin de les écrire avec une fraction vu qu'il arrive qu'on quotiente par des truc non distingués où il y a un quotient "à gauche" et un autre "à droite", bref, a mon avis il vaut mieux s'en tenir à la bonne vielle notation "standard" avec un "slash" /)
Ensuite, les quotient d'espace vectoriels, c'est encore plus simple que les autres (en dimension finie) vu que tu as des supplémentaires donc ton GL(R^4/D), c'est la même chose que GL(F) où F est un supplémentaire de D dans R^4 et, vu que ta représentation atterri en fait dans O(R^4), ça semble plus que judicieux de prendre pour F l'orthogonal de D de façon à ce que ta représentation quotient atterrisse dans O(F)=O(R^3).
Mais, de toute façon, quelque soit la façon de voir cette représentation quotient, ton groupe S4 va agir sur 4 éléments d'un ? de dimension 3 qui vont être les images des 4 vecteurs de la base de R^4 dans le ? en question (correspondant au GL(?) d'arrivé que tu as choisi pour ta représentation).
De plus, S4 va agir de telle façon que les 4 éléments en questions pourront être permuté comme bon te semble.
A ton avis c'est laquelle des deux représentation irréductible dont tu parle ?

P.S. En espérant pas avoir dit trop de connerie vu que... j'y connais que dalle en représentation de groupes...

(*) Rappelons à tout hasard que, dans un Sn quelconque, si on conjugue par exemple la permutation (123)(45) par celle telle que 1->a ; 2->b ; 3->d ; 4->e ; 5->f on obtient la permutation (abc)(de) de "même type" en terme de décomposition en cycles disjoints.

[Archytas]

Et ce groupe, il est simplement constitué de l'identité (évidement...) et des 3 "double deux cycles" (12)(34) ; (13)(24) et (14)(23) qui sont évidement d'ordre 2 et le "petit miracle", c'est que le produit des deux premiers donne le troisième ce qui suffit à prouver que c'est un sous groupe.
Par contre, le fait qu'il est distingué, c'est complètement évident vu que les conjugués d'un "double deux cycle" sont des doubles deux cycles et qu'on les a tous pris (*).

Super c'est exactement là où je bloquais !

Sinon, concernant ton GL(R^4)/D, ça veut absolument rien dire : D c'est un s.e.v. de R^4 et tu risque pas de quotienter le groupe GL(R^4) par D.Donc j'espère que c'est une faute de frappe et que c'est GL(R^4/D) que tu voulais taper (en plus les quotients, je pense pas que ce soit malin de les écrire avec une fraction vu qu'il arrive qu'on quotiente par des truc non distingués où il y a un quotient "à gauche" et un autre "à droite", bref, a mon avis il vaut mieux s'en tenir à la bonne vielle notation "standard" avec un "slash" /)

Me culpa, c'est bien ce que je voulais dire, cependant les sous espaces vectoriels ont le bon goût d'être toujours distingués et j'ai quand même pas la barbarie de quotienter tout et n'importe quoi en général en prétendant garder des groupes

Ensuite, les quotient d'espace vectoriels, c'est encore plus simple que les autres (en dimension finie) vu que tu as des supplémentaires donc ton GL(R^4/D), c'est la même chose que GL(F) où F est un supplémentaire de D dans R^4 et, vu que ta représentation atterri en fait dans O(R^4), ça semble plus que judicieux de prendre pour F l'orthogonal de D de façon à ce que ta représentation quotient atterrisse dans O(F)=O(R^3).

Je suis d'accord sur le fait que tout ce beau monde soit isomorphe mais je ne vois pas trop comment m'en sortir

Mais, de toute façon, quelque soit la façon de voir cette représentation quotient, ton groupe S4 va agir sur 4 éléments d'un ? de dimension 3 qui vont être les images des 4 vecteurs de la base de R^4 dans le ? en question (correspondant au GL(?) d'arrivé que tu as choisi pour ta représentation).
De plus, S4 va agir de telle façon que les 4 éléments en questions pourront être permutés comme bon te semble.
A ton avis c'est laquelle des deux représentations irréductibles dont tu parles ?

Par analogie avec le passage 3d-> 2d je dirais que la représentation obtenue sera celle issue de l'action de O+(R^3) sur le cube mais c'est hyper heuristique et comme j'ai pas bien saisi ce qui précède j'y mettrais pas ma main au feu ^^.

PS: Désolé pour le retard, j'avais oublié de demander à être informé des réponses

[Ben314]

Perso., je suis plutôt persuadé qu'il s'agit de l'autre.
Quand tu quotiente R^4 par D et que tu te retrouve dans un truc F isomorphe à R^3.
Les images A,B,C,D des 4 vecteurs de la base canonique de R^4 dans le quotient F forment une famille génératrice de F (donc 3 d'entre eux forment une base, par exemple A,B,C)
Et vu la façon dont ton groupe agit sur R^4, sur F, tu peut permuter les éléments A,B,C,D de la façon que tu veux, sans restriction et ça prouve que l'image de ton groupe dans GL(F), ben c'est le groupe des permutations du tétraèdre (ABCD), ni plus, ni moins.

Et tu peut même te débrouiller pour que tout ça reste dans le groupe orthogonal : le vecteur (1,1,1,1) de R^4 reste fixe par tout élément du groupe donc son orthogonal, à savoir le s.e.v. F (de dim 3) d'équation x1+x2+x3+x4=0 aussi et bien sûr, ton groupe s'envoie alors sur O(F).
Ensuite, il est clair, pour des raisons de symétrie, que les projetés orthogonaux A,B,C,D des 4 vecteurs de base de R^4 sur F forment les sommets d'un tétraèdre régulier donc l'image de ton groupe dans O(F), c'est l'ensemble des isométries qui préservent ce tétraèdre.

Perso., j'aurais même tendance à "encore mieux" voir le bidule en ne considérant pas le s.e.v. F:x1+x2+x3+x4=0 mais plutôt le sous espace affine A:x1+x2+x3+x4=1 (lui aussi stable par les éléments de ton groupe) qui contient directement les 4 vecteurs de base et avec ce point de vue, c'est même pas la peine de projeter les vecteurs de base.
Par contre, maintenant ton groupe se représente dans le groupe des isométries affines de A et pour montrer qu'on peut le représenter dans un groupe d'isométries vectorielles, il faut dire que le centre de gravité O=(1/4,1/4,1/4,1/4) des vecteur de la base de R^4 reste fixe par tout élément du groupe donc qu'on peut vectorialiser G en prenant ce point comme vecteur nul et que, ce faisant, ton groupe se représente dans le groupe des isométries vectorielles de G.
(ce dernier point de vue est évidement lié au fait que, pour faire des calculs concernant "le" simplexe de dimension n, plutôt que de le voir dans R^n, c'est plus simple de le voir dans le s.e. affine x1+x2+...+x(n+1)=1 de R^(n+1))