Limite suite

[Hlb28]

Bonsoir à tous, comment peut on montrer que si (Un) est une suite croissante et convergente vers l alors Un<=l svp ?
Merci d'avance

[Ben314]

Salut
Connait tu la définition de ce que signifie "la suite (Un)n tend vers L" ?
Si oui, ben tu part (évidement) de ça et c'est très simple (par exemple par l'absurde).
Si non, ben c'est désespéré : sans définition, on montre rien... on admet...

[Hlb28]

Je sais que si Un converge alors il existe un entier N tq pour tout n>=N, l-e<=Un<=l+e
Pour tout e>0

Du coup par l absurde on suppose que l<Un et Que comme Un est croissante et ba l<Un+1
Mais a par ca je sais pas trop

[Ben314]

Je sais que si Un converge alors, pour tout e>0, il existe un entier N tq pour tout n>=N, l-e<=Un<=l+e
Pour tout e>0 <= ça n'a pas bien de sens de l'écrire ici vu que dans ce cas, on a l'impression que rien ne dépend de e alors qu'évidement, le N dépend de e : plus tu veut de la précision, plus il faut aller chercher loin.
Bref, le "pour tout e", il faut obligatoirement l'écrire avant le "il existe N" pour visualiser que N dépend de e

Sinon, si c'était faux que "pour tout entier n (*) on a Un<=L", ça signifierais qu'il existe au moins un entier m tel que Um>L puis, par croissance, que Un>=Um pour tout n>=m (#).
Arrivé à ce point, 2 options :
1) Soit tu as déjà démontré que, lorsque tout les termes d'une suite convergente sont >=A alors la limite est >=A et dans ce cas, tu déduit de (#) que la limite L est >=Um ce qui contradictoire avec le Um>L précédent.
2) Soit tu repart de la définition en prenant un e tel que 0<e<Um-L (possible car Um-L est >0) :
On sait qu'il existe N tel que, pour tout n>=N on ait L-e<=Un<=L+e.
Sauf que L+e<L+(Um-L)=Um donc Un<=L+e<Um pour tout n>=N ce qui est en contradiction avec (#)

(*) Si tu écrit pas les "pour tout blablabla, tu va pas comprendre grand chose à ce que tu écrit...".

[Hlb28]

D'acc merci bcp !