Limites à gauche et à droite de fonctions (MPSI)

[Carlito88]

Bonjour

Je suis nouveau sur le forum, et j'espère avoir fait le bon choix en m'inscrivant, car j'ai pas mal besoin d'aide en ce moment !

En fait je travaille sur les limites de fonctions et un grand théorème dit que "Si une fonction f est définie, MONOTONE, sur un intervalle I dans R, à valeurs réelles, alors f admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point x appartenant à I, non-extrémité de I."

Je n'ai pas de soucis particulier avec ce théorème, cependant pourquoi la fonction doit elle être monotone ? Et existe-t-il des fonctions non monotones où il n'y a pas de limites à gauche ou à droite pour un point x non-extrémité de I ?

Merci d'avance
Carlito

[zygomatique]

salut

faire des mathématiques c'est obtenir des vérités (ou théorèmes) à partir d'hypothèses données ...

si f est continue alors f admet des limites à droite et à gauche (classique)

mais sans continuité ce n'est plus (toujours) vrai (c'est une condition suffisante mais pas nécessaire)

sans continuité une autre condition suffisante est la monotonie de la fonction : elle suffit pour avoir une limite à droite et à gauche ...

Je n'ai pas de soucis particulier avec ce théorème, cependant pourquoi la fonction doit elle être monotone ?

ben la démonstration de ce théorème te montre la nécessité de cette hypothèse suffisante pour obtenir le résultat ...

maintenant un (contre-) exemple qui doit convenir (il me semble) :

soit f définie sur R par :

si x est réel alors f(x) = 0
si x est rationnel avec x = p/q et pgcd (p, q) = 1 alors f(x) = 1/q

f n'est pas monotone et est continue en tout réel non rationnel (donc admet une limite à gauche et à droite) mais f n'admet pas de limite en tout rationnel ...

enfin à confirmer ...

[Carlito88]

Merci beaucoup pour les précisions ! Effectivement ça me revient à l'esprit mon prof de maths m'a déjà parlé de ce type de fonction définie en fonction de rationnels ou de réels ...

Je vais étudier tout cela !
Encore merci

[Ben314]

Salut,
Perso,comme contre exemple (plus visuel à mon avis), j'aurais plutôt pris f : R->R ; x->sin(1/x) pour x non nul et f(0)=0 : la fonction n'admet pas de limite ni à droite ni à gauche en 0.

Voire même f : R->R ; x\mapsto1/x pour x non nul et f(0)=0 qui n'a pas non plus de limite finie ni à droite ni à gauche en 0.