Spé maths TS

[Lis]

Bonjours,
Mon professeur de spécialité maths nous à donné un exercice à faire sur le déchiffrement affine, et je bloc sur une question.

Enoncé:
La lettre associée à l'entier x est codée par la lettre associée à f(x), le reste de la division euclidienne de ax+b par 26.
Soit x et x' deux entiers tels que f(x)=f(x')

Question:
Monter que si a et 26 ont un diviseur commun alors on peut trouver des valeurs x et x' distinctes. donner un exemple.

Est t-il possible d'avoir de l'aide. Merci d'avance

[chombier]

On comprends rien à ton énoncé...

Comment code-t-on une lettre ? (Et a-t-on besoin de le savoir ?)

Quel est le domaine de définition de f ?

"a" et "b", ce sont des lettres, des nombres, des entiers, des matrices... ?

Quelles sont les valeurs possibles de a et b ?

Qu'est-ce que ça veux dire "trouver des valeurs x et x' distinctes ?

[Ben314]

Salut,
Le "chiffrement affine", c'est très à la mode au Lycée depuis quelque temps :
- Tu code les 26 lettres par les entiers de 0 à 25 et tu travaille ensuite dans Z/26Z.
- Tu te donne une fonction "affine" f: Z/26Z->Z/26Z ; x->ax+b (donc a et b sont des éléments de Z/26Z fixés).
- Tu "code" la lettre correspondant à l'entier x (dans Z/26Z) par la lettre correspondant à ax+b.

Et là, la question, consiste à montrer que, si a n'est pas premier avec 26 alors f n'est pas injective : deux lettres différentes vont être codées par la même lettre ce qui revient peu ou prou à (re)dire que seuls les entiers premiers avec 26 ont des classes inversibles dans Z/26Z.

[Lis]

Merci Ben314, mais je ne comprends pas comment je dois démontrer le cas général?
La question précédente m'amène à a(x-x')=26k, je suppose qu'il faut s'en servir

oui c'est exacte et c'est la question suivante

[Ben314]

La question précédente m'amène à a(x-x')=26k, je suppose qu'il faut s'en servir

Comme je sais pas du tout ce qu'il y a au programme du Lycée en arithmétique, je sais pas ce que tu est sensé dire (as-tu vu le "Lemme de Gauss" ?)
Mais par contre, ce que tu peut (tu doit ?) faire, c'est au minimum de regarder sur des exemples ce que ça donne :
- Si a=1 c'est quoi les solutions de a(x-x')=26k ? (en particulier, a-t-on forcément x=x' modulo 26 ?)
- Si a=2 c'est quoi les solutions de a(x-x')=26k ? (en particulier, a-t-on forcément x=x' modulo 26 ?)
- Si a=5 c'est quoi les solutions de a(x-x')=26k ? (en particulier, a-t-on forcément x=x' modulo 26 ?)
- Si a=13 c'est quoi les solutions de a(x-x')=26k ? (en particulier, a-t-on forcément x=x' modulo 26 ?)

[zygomatique]

Merci Ben314, mais je ne comprends pas comment je dois démontrer le cas général?
La question précédente m'amène à a(x-x')=26k, je suppose qu'il faut s'en servir

oui c'est exacte et c'est la question suivante

salut

oui le lemme de Gauss est vu en spé ...


ben si a(x - y) = 26k

alors avec a = 2 et x - y = 13 ça devrait le faire ...

ou alors avec a = 13 et x - y = un multiple de 2 ...

[Lis]

Mais par exemple si k=0 et a=26, 26 divise a et pourtant x-y=0 donc x=y. Ce qui ne correspond pas à l'énoncé...

[Pseuda]

Bonjour,

Evidemment, si tu imposes à k d'être égal à 0, on a f(x)=f(y) => a(x-y)=0 => x=y (dès que a0).

Non, la question est : montrer que si a et 26 ne sont pas premiers entre eux, il existe x et y tels que f(x)=f(y) sans que x=y (mais il est évident que si x=y, alors f(x)=f(y)), et cette condition est vérifiée s'il existe k tel que a(x-y)=26k avec xy, mais k a le droit d'être différent de 0, et même il en a le devoir (sinon x=y, ce qui n'est pas très intéressant vue la phrase d'avant).

Par exemple, si a=2, x=14 et y =1, il existe k(=1), tel que a(x-y)=26k, c.a.d. f(x)=f(y), et xy.

A noter que si a=0 ou 26 ou tout multiple de 26, on a f(x)=f(y)= reste de la division euclidienne de b par 26, pour tous x et y. Donc ce qu'il faut montrer, l'est largement.

[Lis]

Merci pseuda,
Mais concrètement je dois mettre quoi comme démonstration alors?

[zygomatique]

qu'ai-je écrit ?