Dm PGCD

[clemmaths]

Bonjour je suis en terminale S et j'ai un dm à faire pendant les vacances et j'aurai besoin d'aide.

L'exercice est :
Pour tout entier naturel n, on pose a=5n+1 et b=2n-1
On note d=PGCD(a;b)

1) donner les valeurs possibles de d
2)en utilisant la table des restes de la congruence modulo 7, trouver les entiers n pour lesquels a congru 0 (7) et b congru0 (7)
3) quelle est alors suivant les valeurs de n, la valeur de d

[Ben314]

Salut.
Un entier qui divise à la fois et (donc par exemple pgcd(a,b)) il divise aussi a+b ; 2a-3b ; 17a+25b ; 7a-8b ; 2a-5b ; b+8a ; etc, etc, etc...
Dans le lot de tout ce qu'on peut écrire, n'y en aurait-il pas un/des plus astucieux que les autres ? (i.e. donnant un résultat très simple)

[clemmaths]

Le 2a-5b ? Ça fait une combinaison linéaire ?

[clemmaths]

Ou alors d divise a et d divise b, donc d divise a-b , d divise 2a-5b donc d divise 7

[zygomatique]

salut

ça fait combien a - b ?

[clemmaths]

Ça fait 3n+2

[zygomatique]

et alors ?

[zygomatique]

https://www.ilemaths.net/sujet-dm-pgcd-731965.html

...

[clemmaths]

PGCD divise aussi 3n+2

[Ben314]

Dans un truc pareil, chacun présente un peu "à sa façon", c'est à dire soit en utilisant des étapes, soit en écrivant directement des truc du style pgcd(5n+1,2n+1)= . . . soit comme je l'ai dit plus haut en écrivant par exemple :
- Tout diviseur de a et b divise aussi a-b=3n+2 <- bof, ca peut peut être servir mais pas directement.
- Tout diviseur de a et b divise a+2b=9n-1 <- clairement sans grand intérêt
- Tout diviseur de a et b divise a+b=7n <- semble pas mal simple : ça peut servir...
Et en réfléchissant un peu on se dit que le truc pas con du tout, c'est évidement 2a-5b vu que ça élimine les :
- Tout diviseur de a et b divise 2a-5b=7 <- Super utile !!!!

Mais je le redit, on peut présenter différemment histoire que ça ressemble moins à du "tâtonnement" (sauf que là, je trouve qu'on tâtonne quand même pas des masses...)