Exercice 1ère S | Fonctions

[Plitou]

Bonjour à vous, tout d'abord, merci d'avoir cliquer. Ceci veut dire que vous souhaitez m'aider.
Afin de vous faciliter la tâche, car c'est déjà aimable de m'aider, je vais détailler du mieux possible ce que je dois faire, ce que je réussis à faire, et où je bloque.

Enoncé : Soit f la fonction définie sur [0;4] qui est affine entre deux nombres entiers consécutifs et qui vaut 0 pour les entiers pairs et 2 pour les entiers impairs.

On me demande d'exprimer f sur 0;1 1;2 2;3 3;4
J'ai trouvé ceci :
Sur [0;1] : 2x
Sur [1;2] : -2x + 4
Sur [2;3] : 2x - 4
Sur [3;4] : -2x + 8

On me demande ensuite de trouver les points d'intersections avec la fonction racine carrée : f(x) = x

Sur [0;1] je trouve 2 points d'intersections : (0;0) et (0,25;0,5)
Après, pour [1;2], je bloque ...

Afin de m'aider, j'ai tracé toutes ces fonctions sur GeoGebra afin d'être sûr que je ne loupe pas de points d'intersections.
Via le calcul, sur [1;2] , je trouve 2 points d'intersections, tandis que sur GeoGebra je n'en vois qu'un.

Merci bien pour votre future aide !
Cordialement, un élève qui a besoin d'aide.

[Ben314]

Salut,
Jusque là, c'est nickel.
Ensuite, il faut effectivement résoudre l'équation avec .
Comme les deux membre sont positif (pour ), cette équation équivaut à .
Tu développe et ça te donne une équation du second degré que tu résous en ne gardant bien sûr que les solutions qui sont dans l'intervalle [1,2] (c'est peut-être là que tu en a trouvé une de trop...)

EDIT : Après calcul, il y a effectivement une et une seule solution de l'équation de degré 2 qui se situe dans [1,2] et l'autre est à mettre à la poubelle vu que f(x) ne vaut -2x+4 que lorsque x est dans [1,2] et en plus cette autre racine donne un qui est <0 donc le raisonnement consistant à élever au carré ne tient plus la route.

[Plitou]

Salut,
Jusque là, c'est nickel.
Ensuite, il faut effectivement résoudre l'équation avec .
Comme les deux membre sont positif (pour ), cette équation équivaut à .
Tu développe et ça te donne une équation du second degré que tu résous en ne gardant bien sûr que les solutions qui sont dans l'intervalle [1,2] (c'est peut-être là que tu en a trouvé une de trop...)

EDIT : Après calcul, il y a effectivement une et une seule solution de l'équation de degré 2 qui se situe dans [1,2] et l'autre est à mettre à la poubelle vu que f(x) ne vaut -2x+4 que lorsque x est dans [1,2] et en plus cette autre racine donne un qui est <0 donc le raisonnement consistant à élever au carré ne tient plus la route.

Tout d'abord, merci à toi de ta réponse. Je n'avais pas pensé à exclure une racine .

Voici donc mon calcul :

Je met le tout au carré.
J'ai donc -4x² + 16 = x
Ensuite : -4x² + 16 - x = 0
J'utilise = b² - 4ac
Ainsi (-1)² - 4 x 4 x 16
1 - (-256) = 257
On calcule x1 et x2 : -b + ou - / 2a

x1 : -1 - / -8 = -17,03 / - 8 = 2,12

x2 = -1 + / -8 = 15,03 / - 8 = -1,87

Je suis perdu là ... Je ne vois pas où est le soucis.
Sachant que sur ma figure, le point d'intersection se trouve en x = 1,41 ...

[siger]

bonjour

(-2x+4)^2 = .......
surement pas. -4x^2 + 16
......

[Ben314]

Voici donc mon calcul :

Je met le tout au carré. <= et SURTOUT, tu explique pourquoi tu as le droit de le faire vu que si tu commence à prendre l'habitude de ne pas le justifier, tu peut être tranquille qu'un jour ou l'autre tu finira par le faire dans un contexte où tu n'a pas le droit
J'ai donc -4x² + 16 = x <= RATE : (-2x+4)² c'est pas du tout égal à -4x²+16.
Par exemple, pour x=1, le premier vaut (-2+4)²=2²=4 et le second vaut -4+16=12

(A-B)²=. . .
Et si tu as le moindre début de doute concernant le résultat, ben refait bêtement le développement comme on le fait au collège "morceau par morceau" (plutôt que d'écrire une énorme connerie)
(A-B)x(A-B) = Ax(A-B) - Bx(A-B) = . . .
(sans parler que ça permet de faire des révisions sur les développement ce qui... n'est pas toujours du luxe...)

[Plitou]

Voici donc mon calcul :

Je met le tout au carré. <= et SURTOUT, tu explique pourquoi tu as le droit de le faire vu que si tu commence à prendre l'habitude de ne pas le justifier, tu peut être tranquille qu'un jour ou l'autre tu finira par le faire dans un contexte où tu n'a pas le droit
J'ai donc -4x² + 16 = x <= RATE : (-2x+4)² c'est pas du tout égal à -4x²+16.
Par exemple, pour x=1, le premier vaut (-2+4)²=2²=4 et le second vaut -4+16=12

(A-B)²=. . .
Et si tu as le moindre début de doute concernant le résultat, ben refait bêtement le développement comme on le fait au collège "morceau par morceau" (plutôt que d'écrire une énorme connerie)
(A-B)x(A-B) = Ax(A-B) - Bx(A-B) = . . .
(sans parler que ça permet de faire des révisions sur les développement ce qui... n'est pas toujours du luxe...)

Ah oui ! En effet, le soucis provient de là.
Donc du coup, je fais :
(a+b) ² = a² + 2ab + b²

Ainsi, on a : (-2x+4)² = (-2x)² + 2 x -2x x 4 + 4²
= 4x² - 16x + 16 = x
4x² - 17x + 16

= b² - 4ac = (-17)² - 4 x 4 x 16 = 289 - 256 = 33. Donc 2 solutions.

x1 = -b - Racine / 2a
x2 = -b +Racine / 2a

x1 = 17 - Racine(33) / 8 = 1,40692
x2 = 17 + Racine(33) / 8 = 2,8430

Donc, comme x2 n'est pas dans l'intervalle [0;2], elle n'est pas solution.
C'est donc x1. Où le point d'intersection se situe en (1,406;y)
Il me reste plus qu'à remplacer x par 1,406 dans l'équation non ?

Et encore merci

[Ben314]

C'est donc x1. Où le point d'intersection se situe en (1,406;y)
Il me reste plus qu'à remplacer x par 1,406 dans l'équation non ?

Oui, c'est ça, modulo que c'est pas vraiment "dans l'équation" que tu va remplacer x par 1,406, mais plutôt "dans un des deux membres", c'est à calculer y= -2x1.406+4 ou bien y=racine(1.406) (voire même calculer les deux pour vérifier que ça donne bien la même chose).

[Plitou]

C'est donc x1. Où le point d'intersection se situe en (1,406;y)
Il me reste plus qu'à remplacer x par 1,406 dans l'équation non ?

Oui, c'est ça, modulo que c'est pas vraiment "dans l'équation" que tu va remplacer x par 1,406, mais plutôt "dans un des deux membres", c'est à calculer y= -2x1.406+4 ou bien y=racine(1.406) (voire même calculer les deux pour vérifier que ça donne bien la même chose).

Merci bien !!
Ce fut un grand plaisir d'échanger avec vous, tu m'as été d'une grande utilité. Et je me suis bien mis en tête, ne jamais oublier les bases.
Surtout les identités remarquables.
Je vous dis encore un grand merci de m'avoir aidé et d'avoir pris sur votre temps.