DM géométrie spatiale vectorielle

[Artset]

Bonjour à tou(te)s!
J'écris ce sujet car j'ai un problème pour deux questions d'un des exercices de mon DM.
J'ai mis l'exercice en pièce jointe.
Je bloque pour la question 1 et 4. (la 2 et 3 sont résolues)
Pour la 1: Je ne sais pas quelle méthode il faut utiliser. J'ai essayé de transformer les différentes équations paramétriques en équation cartésienne mais je n'y arrive pas. Ensuite j'ai essayé une résolution basique en remplaçant les inconnues par leurs expressions en "t". Et cela fonctionne avec la réponse a car j'obtiens bien 0 àla fin:
t-2*(1-2t)+3(-1+3t)+5=0 <=> t-2+4t-3+9t+5 <=> 14t=0 <=> t=0
par conséquent: x=0 ; y=1 et z=-1.
Mais comment faire avec les "t' " dans les autres équations?

Pour la question 4: Je suis bloquée à celle-ci tant que je n'ai pas résolu la première ...
Merci d'avance à ceux qui m'aideront.
S.

[Ben314]

Salut,

Ensuite j'ai essayé une résolution basique en remplaçant les inconnues par leurs expressions en "t". Et cela fonctionne avec la réponse a car j'obtiens bien 0 àla fin:
t-2*(1-2t)+3(-1+3t)+5=0 <=> t-2+4t-3+9t+5 <=> 14t=0 <=> t=0
par conséquent: x=0 ; y=1 et z=-1.
Mais comment faire avec les "t' " dans les autres équations ?

A mon avis, c'est bien ça qui est attendu (vu que c'est de loin le plus simple).
Concernant les t et t' qui trainent, il ne ne jamais oublier la "nature" de variables qu'on trimbale dans les calculs : là, le t et le t' il proviennent des équation paramétrique. Et ces équation paramétriques, elle disent quoi en fait ?
Ben elle disent que, quelque soit les valeur de t et t', le point de coordonnées x=??? ; y=??? ; z=??? (fonction de t et t') sont dans le plan (paramétré par les équation).
Donc quand tu "injecte" ça dans l'équation cartésienne, pour que ce soit O.K., ben il faut que tu trouve un truc qui soit vrai quelque soit les valeur de t et t'. Don si tu trouve 0t+0t'=0, c'est O.K., mais si tu trouve un truc du style 3t+0t'=0, ben c'est pas bon vu qu'une telle relation n'est pas vraie quelque soient les valeur de t et t'.

Et c'est là que, dans la rédaction, c'est pas con du tout du tout d'écrire dés la première ligne que, si effectivement les équation paramétriques sont bien celle correspondant à l'équation cartésienne, alors ça signifie que, quelque soient t et t' on doit avoir blablabla (ou tu remplace les x,y,z de l'équation cartésienne par les valeurs données par l'équation paramétrique".
Et c'est le fait de recopier consciencieusement ce quelque soient t et t' à chaque ligne qui va te permetre de comprendre à la fin ce que tu doit faire avec "les t et t' qui trainent"

P.S. Faire attention quand même au fait qu'en procédant à de telle substitution, ce que tu montre, c'est uniquement l'inclusion (et pas l'égalité) d'un ensemble (celui correspondant aux équations paramétriques) dans un autre ensemble (celui correspondant aux équation cartésiennes).

[Artset]

J'ai essayé de remplacer toutes les possibilités par les expressions paramétriques et j'ai obtenu :
b) -t+t'+6=0 donc t'= t-6
et j'obtiens en remplaçant : x=3t-12 ; y=-5 ; z=1-t
mais on obtient 6=0 donc absurde.
c) 2t'+6=0 <=> t'=-3
ensuite j'obtiens en remplaçant t' par sa valeur : t-3-2+2t-12+3-3t+27+5+0. Du coup les t se simplifient et ça devient absurde car 18 0
d) 6t+1-6t'=0 donc t= t' - 1/6 et en remplaçant les t par cette expression on trouve 4/3=0 donc absurde aussi.
Je ne sais pas si c'est ce que vous m'aviez conseillé de faire car je n'ai pas tout compris. Pouvez-vous me dire si cela vous semble correct ou non ?
Bien cordialement,
Artset

[Tiruxa47]

Bonjour,

Si l'on considère que l'une des quatre propositions est bien une équation cartésienne de (P) on peut se servir de la méthode de Ben pour éliminer les trois qui ne peuvent convenir.

Ok ce n'est pas explicitement dit dans l'énoncé mais je trouve que c'est quand même implicite...

Enfin bref, si l'on a quelques doutes sur le fait que l'une des équations soit correcte, il est faisable d'éliminer les t et les t' dans l'équation (évidemment celle qui n'a pas été exclue par la méthode précédente) pour retrouver par équivalence l'équation cartésienne donnée dans l'énoncé.

[Tiruxa47]

Le sujet est un peu flou même voire surtout en zoomant, donc c'est difficile de te répondre de façon nette

Mais pour le b) je lis :
x=t+2t'
y=1-t+t'
z=-1-t

Donc en reportant dans l'équation de (P)
x-2y+3z+5=0
équivalent à t+2t'-2(1-t+t')+3(-1-t)+5=0
ce qui finit par être équivalent à 0=0

[Artset]

J'ai vérifié pour la B et j'avais oublié de mettre un " - " devant le 1 de la coordonnée z.
En effet je trouve t et t' = 0 ce qui rend l'équation paramétrique correcte. Donc réponse a et b correctes.
Merci beaucoup à vous deux!

[Tiruxa47]

Attention tu n'as pas compris le sens des messages !!

On ne trouve pas que t et t' sont nul mais quel quels que soient t et t' l'équation est vérifiée
Ce qui signifie que tout point appartenant au plan d'équation paramétrique b) est élément de (P), les deux plans sont donc confondus.

Par l'équation paramétrique a) est celle d'une droite ! (il n'y a qu'un seul paramètre)

[Artset]

Bon bah faut que je vois d'autre cours dessus parce que je bloque là dessus ^^'
Merci de la précision..

[Dasson2]

Peut aider :
https://www.youtube.com/watch?v=rKxDMtOXrWs

[Artset]

Merci !

[Ben314]

Pour "plussoyer" ce que dit Tiruxa47 ci dessus, ce truc là :

b) -t+t'+6=0 donc t'= t-6

ça montre que tu n'a absolument pas compris le sens des calculs que tu faisait.
Dés la première ligne, tu aurais du écrire :
Regardons s'il est vrai que, quelque soient les réels t et t' on a blablabla...
Et arrivé au point que je cite çi dessus, tu en est à ça :
Regardons s'il est vrai que, quelque soient les réels t et t' on a -t+t'+6=0
Et évidement, ça n'a aucune utilité (et pas bien de sens) d'écrire ton "donc t'=t-6.
Ce que tu aurais du écrire, c'est :
Or, si on prend par exemple t=1 et t'=2 alors -t+t'+6=7 n'est pas nul donc les équations ne sont pas des équations paramétrique du plan.

A un niveau plus élémentaire, il faut absolument comprendre que les deux question :
(1) Montrer que, pour tout réel x, on a
(2) Résoudre l'équation
Ne sont pas du tout les mêmes.
Toi tu as résolu le truc comme si c'était une question du type (2) en cherchant à déterminer les t et t' "qui marchent" alors que c'est pas ça la question.

P.S. Et je pense pas que le problème se situe au niveau de "voir un cours de plus" : si tu as un problème de logique dans ce contexte là, il faut comprendre pourquoi de façon à ce que le même problème ne se reproduise pas systématiquement lorsque tu va aborder de nouvelle notions (a mon sens, le problème en question, il a pas grand chose à voir avec les équations de plan/droite)

[siger]

bonjour

il serait peut etre utile de revenir aux definitions
- soit un point M(x,y,z) d'une droite D passant par A(x0,y0,z0) definie par son vecteur directeur U(ux,uy,uz)
on peut ecrire pour tout point M
AM = t*U, d'ou en projetant sur les axes
x=x0 +t*ux
y =y0 +t*uy
z=z0+t*uz
equation parametrique de la droite D
- soit un point M( x,y,z) d'un plan P passant par A(x0,y0,z0) et défini par deux vecteurs U( ux, uy,uz) et V( vx,vy,vz)
on peut ecrire que tout vecteur AM est la somme de deux vecteurs tU et t'V, soit en vecteurs
AM = t* U + t'*V
d'ou ,en projetant sur les axes
x = x0 + t* ux+ t'*vx
y=.....
z= ......
equation parametrique du plan P

a chaque valeur du couple ( t,t') qui verifie ce systeme correspond un point M du plan ( t=t'=0 correspondant au point A....)