Travail sur une fonction

[fana01]

Bonjour,

J'ai un gros devoir récapitulatif de ce qu'on a vu depuis le début de l'année et je suis complètement perdu.

Soit F la fonction définie sur R-{1} par f(x) = x^2/(x^2-2x+1).

a) déterminer le signe de x^2-2x+1 pour x appartenant à R-{1}.

Ça peut sembler bizarre, mais je n'ai jamais vraiment compris ce genre d'exercice.
Pour moi, si on calcule delta, on trouve 0. Et la seule solution donne 1 qui est valeur interdite.
Cela veut-il dire que l'équation est positive de -inf à 1 et de 1 à +inf ?
Même si sur mon graphique cela semble différent.

b) en déduire lim f(x) quand x tend vers 1, x<1 et lim f(x) quand x tend vers 1, x>1

Là c'est pareil, je ne trouve pas les mêmes résultats que sur le graphe.
Pour moi la limite de f(x) c'est 1/0 donc
- inf, quand x tend vers 1, x<1
+inf, quand x tend vers 1, x>1

c)interpréter graphiquement les résultats de la question précédente

Il suffit de dire qu''il y a une asymptote en x=1 ?

Merci d'avance pour vos éclaircissements

[laetidom]

Bonjour,

a)

delta = 0 veut-dire que la courbe intersecte l'axe des abscisses en 1 point ===> x=1 interdit ok

de plus, a (=1) >0 signifie que la parabole a les branches en haut et le sommet en bas, donc que la courbe est en y>0 sauf en x=1 où elle est nulle.
C'est le cours.

Puisque le numérateur est un carré toujours >0 !

[fana01]

Je suis désolé, je ne comprends toujours pas.
Ça veut simplement dire que la courbe est décroissante de -inf à 1 et croissante de 1 à +inf ?

[laetidom]

Je suis désolé, je ne comprends toujours pas.
Ça veut simplement dire que la courbe est décroissante de -inf à 1 et croissante de 1 à +inf ? oui

ce graphe dit que le dénominateur est >0 hormis en x=1

[fana01]

Donc, le signe de l'équation est positif (sauf en 1) ?
Désolé, mais cette notion ne veut vraiment pas rentrer.

[laetidom]

Donc, le signe de l'équation est positif (sauf en 1) ?
Désolé, mais cette notion ne veut vraiment pas rentrer.

Oui, le dénominateur est positif (sauf nul en x=1), décroissant et croissant comme tu l'as dit.

[fana01]

Donc, pour en finir avec cette question, comme démonstration, je montre que delta=0 ce qui montre que la courbe ne coupe l'axe des abscisses qu'en un seul point, en l’occurrence 1 qui est valeur interdite.
Ce qui prouve que toutes les autres valeurs sont supérieures à 0, donc cela m'amène à conclure que le signe de l'équation est positif.

[laetidom]

Que dit le cours :

[zygomatique]

salut

il est dommage de ne pas reconnaitre une identité remarquable dans x^2 - 2x + 1 ...

[laetidom]

salut

il est dommage de ne pas reconnaitre une identité remarquable dans x^2 - 2x + 1 ...

Effectivement, comme nous le dit zygomatique, le dénominateur est un carré toujours > 0 ! En effet, (x - 1)² tjs > 0 et nul en la valeur qui l'annule.

[fana01]

Cette fois-ci, je crois que j'ai compris. Comme et le numérateur et le dénominateur sont positifs, ça veut dire que la limite f(x) quand x tend vers 1, x<1 ou x>1, est égale à +inf.

[laetidom]

Cette fois-ci, je crois que j'ai compris. Comme et le numérateur et le dénominateur sont positifs, ça veut dire que la limite f(x) quand x tend vers 1, x<1 ou x>1, est égale à +inf.

Salut,

N(x) et D(x) > 0 veut dire que f > 0 c'est-à-dire que Cf est au-dessus de l'axe des abscisses (sauf en x=1).

Pour obtenir les limites en et en :

avec :
N(x) : ()² -----tend vers----->
car : saisis sur ta calculatrice : (1,0000001)² = 1,00000002

D(x) : ()² -2. + 1 ------>

d'où N(x) / D(x) = / ------>
car : saisis sur ta calculatrice : 1,0000001 / 0,00000001 = 100000000

Comprends-tu ?

[fana01]

Oui pour 1+ mais pour 1-,
D(x) : (1-)² -2. + 1 ------> 0-
Ce qui amènerait à -inf, non ?
Or sur le graphe de la fonction, ça semble être aussi +inf.

[laetidom]

1- :

x² ----> 1- qui est > 0

x²-2x+1 -----> (1-) -2.(1-)+1 = 0.99999999 - 2.0,9999999 + 1 ------> 0+

et 1- divisé par 0+ tend vers

car sur la calculatrice : 0.999999999 / 0.00000001 -----> 99999999.....

[zygomatique]

1/ tu possèdes le cours : opérations sur les limites

2/ tu en déduis qu'écrire :



et (*)

donc par ... (*)


PS : (*) est à écrire deux fois : en 1- et en 1+ (même si on a le même résultat)

[fana01]

Merci beaucoup, je pense avoir compris.
Cela explique pourquoi la limite est égale à +inf dans les deux cas.

[laetidom]

Merci beaucoup, je pense avoir compris.
Cela explique pourquoi la limite est égale à +inf dans les deux cas.

Et oui ! @+ sur le forum.

[fana01]

Bonjour,

Je suis désolé de vous déranger de nouveau avec ce problème, mais je suis en train de rédiger mon devoir et j'ai beaucoup de mal à montrer que les lim f(x) quand x tend vers 1+ et 1- est égale à +inf.

J'ai compris que le numérateur et le dénominateur sont positifs et que donc les limites sont forcément supérieures à 0 (sauf en 1), mais comment le prouver ?

Pour 1+, c'est facile, j'arrive à 1/0+ et 0+ au dénominateur est égal à +inf.

Mais pour 1-, en appliquant le cours, j'arrive à 1/0-, ce qui est contraire à mes déductions.

J'ai fait les calculs à la calculatrice et j'arrive bien à +inf pour les deux, mais je n'arrive pas à le retranscrire en formule.

Pouvez-vous m'aider ?

[laetidom]

Bonsoir,



en :

(positif)
(négatif)



Comprends-tu ?

[fana01]

Oui, merci beaucoup d'avoir de nouveau pris le temps de m'aider.
A chaque fois, je calculais la limite avec x^2-2x+1 et non avec (x-1)^2 ce qui m'empêchait donc à la fin d'avoir 0- * 0-, ce qui m'amène à 0+ et donc à +inf.