Division euclidienne de deux polynômes de Z[X]

[MoonX]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice à la question suivante :

Soient ; est unitaire.
Considérons la division euclidienne de par dans
Montrer tout d'abord que et appartiennent à ,puis, que et appartiennent à .

J'ai réussis par récurrence, sauf que cela montre immédiatement que et sont dans .
Donc dans l'intérêt de l'exercice, je cherche à le démontrer dans l'ordre indiqué et sans récurrence, et c'est ici que je bloque...

Je vous remercie par avance !

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ce qui est attendu comme réponse, c'est que le fait que B et R sont dans Q[X], ça sort directement du cours : Q étant un corps on peut effectuer des divisions euclidiennes dans Q[X] et évidement tout les résultats sont dans Q[X] (et il n'est pas utile de supposer que Q est unitaire pour cette partie là, on le suposerait juste non nul, ça marcherais aussi).
Bref, concernant cette première question, il n'y a en fait aucun calcul à faire et elle est là uniquement pour que tu y réponde "le fait que B et R sont dans Q[X] est complètement évident vu que le P et le Q de départ sont dans Q[X] et que Q est un corps"

Par contre, vu que Z n'est pas un corps mais simplement un anneau, la deuxième question elle nécessite bien des calculs (et là, il faut que Q soit unitaire pour que ça marche).
Et concernant "les calculs", effectivement, une récurrence, ça marche très bien.

Bilan : tu as tout juste, modulo que tu as pas vu qu'on pouvait parfaitement répondre à la première partie de la question AVANT d'avoir fait les calculs concernant la deuxième partie.

[MoonX]

Merci pour ta réponse,
D'accord, mais le problème c'est que je n'ai pas de propriété avec les corps dans mon cours sur les polynômes (est-ce au programme de sup?); j'ai juste : "K[X] est commutatif" et "K[X] est intègre".

En quoi consiste la démonstration de cette propriété justement ? (je vais faire une recherche de mon coté aussi).

Donc oui la récurrence semble être ce qui est attendu pour la deuxième partie, si jamais je peux faire la première partie.

[Ben314]

Bien sûr que si que tu l'a.
Si tu ne l'avais pas, ça signifierais que ton cours ne parle absolument nulle part de division Euclidienne d'un polynôme par un autre et on ne te donnerais pas à chercher des exercices parlant de cette notion.

Et à l'endroit dans ton cours où on te parle de division Euclidienne d'un polynôme P par un polynôme Q, ben l'intitulé des définitions/théorèmes, c'est des trucs du style "Soient P et Q dans K[X] avec Q non nul" et c'est à toi de comprendre que quand on utilise ça (définition/théorème) dans un exo., ben on peut prendre K=C ou bien K=Q (ou n'importe quel autre corps, mais pas Z vu que c'est pas un corps)

EDIT : En fait, je peut éventuellement me tromper : le K dont tu parle dans ton post, il est défini comment au début du chapitre de ton cours :
Est ce qu'il est écrit "Dans tout le chapitre K est un corps quelconque" ou bien "Dans tout le chapitre K désigne R ou C" ou bien... autre chose... ?

[MoonX]

Apparemment K désigne un corps dans tout le cours, je me suis embrouillé avec Z qui lui n'en est pas un dans l'exercice mais finalement c'est bon.
Donc finalement, j'ai juste à réécrire la division euclidienne de A par B dans et invoquer l'unicité de la division euclidienne pour redémontrer comme il faut ?(en précisant bien que est un corps)

Petite question à ce propos : Si (Q, +, x) est un corps, il en est de même pour (Q[X], +, x) munis des lois biens définies ?

[Ben314]

Oui, tu as raison, concernant le début de la question, il faut effectivement justifier que de faire la division de P par Q dans Q[X] ou dans C[X], ça donne bien le même résultat et ta preuve est tout à fait correcte (unicité du résultat).

Par contre, Q[X] et plus généralement K[X], ce n'est pas du tout un corps mais uniquement un anneau (intègre et commutatif) : dans un corps, par définition, tout élément non nul doit admettre un inverse, c'est à dire que, quelque soit A non nul, il doit exister B tel que AB=1 (on montre alors que B est unique et il est appelé "l'inverse de A")
Et avec des polynômes, il est clair que par exemple (X+2) fois n'importe quel autre polynôme, ben ça fera jamais 1.
De la même façon, Z c'est pas un corps vu que 2 fois un entier quelconque, ça peut pas faire 1.

Et ça amène naturellement à une question archi naturelle : quels sont les entiers (relatifs) inversibles ?
Et les polynômes de K[X] inversibles ?

P.S. Et si ça t'intéresse (et en espérant ne pas t'embrouiller...), de la même façon que Z n'est pas un corps, mais qu'on peut fabriquer facilement un corps qui contient Z, à savoir Q on peut aussi fabriquer un corps qui contient K[X], à savoir l'ensemble des fraction rationnelles en X, c'est à dire des "trucs" de la forme P(X)/Q(X) où P(X) et Q(X) sont deux polynômes.

[MoonX]

D'accord, merci de m'avoir éclairci !

Pour répondre à votre question :
- Les entiers relatifs inversibles : -1 et 1
- est inversible ssi d°A = 0 (les polynômes constants).

Et oui j'ai déjà vu les fractions rationnelles donc pas d'inquiétude, ça ne m'embrouillera pas

[Ben314]

C'est bien ça modulo une mini erreur (mais dans un exo. théorique, ça peut être grave d'oublier ce cas là) :

- est inversible ssi d°A = 0 (les polynômes constants non nuls).