Probabilités et marchés financiers

[harcée]

Bonjour,
Je bloque sur une partie d'un exercice, concernant les probabilités. Voici l'énoncé :

"A la bourse, un titre peut monter, rester stable ou baisser. Dans notre modèle, on suppose qu'il est stable le premier jour et que si le n-ième jour :
- le titre monte, la probabilité qu'il monte le jour (n+1) est 1/2, qu'il reste stable 1/4, qu'il baisse 1/4
- il reste stable, la probabilité qu'il monte le jour suivant est 1/4, qu'il reste stable 1/2, qu'il baisse 1/4
- il baisse, la probabilité pour qu'il monte le lendemain est 1/4, qu'il reste stable 1/4 et qu'il baisse 1/2

On considère alors An : "le titre augmente le n-ième jour", Sn : "le titre est stable le n-ième jour" et Bn : "le titre baisse le n-ième jour" et an=P(An), sn=P(Sn) et bn=P(Bn)

1. Justifier que si s1=1, a1=0 et b1=0. Calculer a2, s2, b2 puis a3, s3, b3.
J'ai dit que on considérait que le titre était stable le premier jour, donc que P(S1)=s1 et par conséquent, a1=0 et b1=0
Puis j'ai dessiné un arbre de probabilités et j'ai pensé que le deuxième jour, la probabilité que le titre reste stable, monte ou baisse est la même donc 1/3. Mais est-ce vrai? Comment le démontrer?

Merci d'avance,
Bonne journée.

[Ben314]

Salut,

1. Justifier que si s1=1, a1=0 et b1=0. Calculer a2, s2, b2 puis a3, s3, b3.
J'ai dit que on considérait que le titre était stable le premier jour, donc que P(S1)=s1 et par conséquent, a1=0 et b1=0

C'est O.K., mais je comprend franchement pas le sens du SI de la question : a ton avis, le ALORS correspondant (qui en Français est parfois sous entendu) est sensé être où dans la question ?

Sinon, pour les proba au deuxième jour, c'est pas du tout 1/3 pour chaque cas : L'énoncé te dit on ne peut plus clairement que le titre est stable le premier jour, puis il te dit toujours aussi clairement que, si c'est stable un jour donné, alors les proba pour le jour suivant c'est 1/4 ; 1/2 ; 1/4.
Bref, en ce qui concerne le jour 2, on te demande uniquement de... savoir lire... et de comprendre ce que tu lit.

Par contre, pour le jour 3, là, il va effectivement y avoir un calcul à faire vu qu'il n'y a pas de certitude concernant la "situation" (monte/stable/baisse) du titre le jour 2 mais uniquement des proba. d'être dans différentes situation. Et là, effectivement le fait de faire un arbre peut s'avérer efficace pour déterminer toutes les issues possible (stable puis hausse ou hausse puis baisse ou baisse puis stable, ou...) ainsi que leur proba. respectives.

[harcée]

Excusez-moi, il n'y a pas de si dans la question, c'est une erreur de ma part.
Ensuite, je n'avais pas compris comme ça, effectivement, c'est plus clair.
Merci beaucoup.

[harcée]

Donc pour le deuxième jour, a2=1/4, s2=1/2 et b2=1/4 ?

[Pseuda]

Bonjour,

Oui, c'est bien cela. Et il faut dire aussi que P(S1)=1 (=s1, c'est la définition de P(S1)).

[harcée]

Merci.
Concernant le troisième jour, si je suis le même modèle que pour le deuxième jour je retrouve exactement les mêmes résultats, et je pense que ce n'est pas normal. Alors faut-il que je calcule des probas conditionnelles?

[Ben314]

Alors faut-il que je calcule des probas conditionnelles?

Oui.
Ou alors tu fait un arbre comme tu le suggérais dans ton premier post (ce qui en fait revient exactement au même)
A toi de voir lequel des deux te semble le plus clair.

[harcée]

Alors j'ai fait (désolée par avance pour l'écriture des conditionnelles) :
a3 ---> P(A3)= P(A3)sachant S2*P(S2) + P(A3)sachant A2*P(A2) + P(A3)sachant B2*P(B2)
= 1/4*1/2 + 1/2*1/4 + 1/4*1/4
= 0.3125
Et j'ai fait de même pour s3=0.375 et b3=0.3125

J'ai justifié auparavant que c'était un système complet d’événements et donc l'utilisation des probas totales

[Pseuda]

Je trouve pareil : 5/16, 6/16 et 5/16 pour a3, s3 et b3.

[harcée]

Oui c'est ça, merci beaucoup !

[harcée]

J'ai résolu la deuxième question sans problème.
Mais pour la 3e, quand on demande de calculer la probabilité qu'il soit stable les premier, deuxième et troisième jours d'affilée, je suppose qu'il faut calculer P(A1 inter A2 inter A3) avec la formule des probabilités composées.
C'est-à-dire : P(A2)*P(A1)sachant A2 *P(A3) sachant( A1 inter A2) mais j'ai la vague impression que ce n'est pas juste...

[Pseuda]

Cela serait mieux dans l'autre sens : P(S1) * P(S2 sachant S1) *P(S3 sachant S1 et S2) (autant prendre l'histoire dans le bon ordre puisqu'elle en a un ).

[harcée]

Effectivement ^^
Du coup P(S2)= 1/2, P(S2 sachant S1)= 1/2 mais pour P (S3 sachant S1 inter S2), je ne vois pas comment le trouver. Je réfléchis à ça :
P(S3 sachant S1 inter S2)= P( S3 inter S2 inter S1)/P(S1 inter S2) mais je tourne en rond puisque le numérateur est ce que je recherche !

[Ben314]

A partir du 3 em jour, où il y a eu DEUX tirages aléatoires pour déterminer la situation actuelle, si tu veut le faire entièrement par du calcul (et pas avec un arbre où ça serait relativement "transparent") il faut forcément que tu utilise dans tes calculs un truc sous entendu dans l'énoncé, à savoir que les différents tirages aléatoires fait sont indépendant les une des autres.

A toi de voir comment faire intervenir ce fait dans tes calculs...
Vu la logique que tu as pris, le plus simple est peut-être de dire que certaine proba "conditionnelle" ne sont en fait pas conditionnelles : Si les évènement A et B sont indépendant alors P(A sachant B) =p(A).

[harcée]

Je vois bien l'indépendance. Ce qui veut dire que dans mon calcul, P(S1 inter S2 inter S3)= P(S2)*P(S2)*P(S3)
= 1/2*1/2*6/16
= 3/32

[Ben314]

Non, justement, l'indépendance "sous entendu" dans l'énoncé, c'est pas du tout ça, au contraire :
L'énoncé te dit explicitement qu'il y a dépendance entre le résultat de la journée n+1 et celui de la journée n : c'est les fameux trois cas de figure à envisager ce qui va se passer le jour n+1 en fonction de la situation qu'on avait à l'instant n.

Là où il y a indépendance (non explicitement dite dans l'énoncée mais clairement sous entendue), c'est que les proba d'état pour la journée n+1, il dépendent de l'état qu'on avait à la journée n, mais par contre sont indépendante de l'état de la journée n-1.
En terme de calcul et de p( ??? sachant que ???), ça te dit par exemple que
p(S5 sachant A4 et B3) = p(S5 sachant A4 et A3) =p(S5 sachant A4 et B2) = . . . = p(S5 sachant A4) = 1/4
Bref, A5/B5/S5 ne dépendent que de A4/B4/S4 dans le sens que, si dans le "sachant que" tu as un A4/B4/S4 et des truc en plus, ceux en plus ne servent à rien.
(Attention par contre au fait que p(S5 sachant A3) n'est pas égal à p(S5 sachant S3), mais il faut faire un calcul un peu long pour le montrer )

C'est là qu'on voit que c'est pas mal plus intuitif avec des arbres vu que ça te dit que pour mettre les différentes proba sur les branches, il faut UNIQUEMENT regarder l'état qu'il y avait au début de la branche (A/S/M) et que c'est pas la peine de regarder comment on a fait pour arriver à cet endroit là de l'arbre.

[harcée]

Faut-il toujours que je parte de la formule des probabilité composées alors?
Parce que j'ai du mal à visualiser ce qu'il faut faire, j'ai compris quelques passages de votre explication mais la fin quand je dois faire un autre calcul reste encore sombre dans mon esprit.

[Ben314]

Du coup P(S2)= 1/2, P(S2 sachant S1)= 1/2 mais pour P(S3 sachant S1 inter S2), je ne vois pas comment le trouver.

Ben justement, tout le (long) laïus ci dessus, c'est pour t'expliquer que ton P(S3 sachant (S1 et S2)) il vaut P(S3 sachant S2) et c'est tout.
Et que si tu veut justifier cette égalité par du "calcul pur", tu va obligatoirement utiliser à un moment ou un autre cette fameuse indépendance dont je parle dans le long post. ci dessus.
Donc a mon avis, autant écrire directement que P(S3 sachant (S1 et S2))=P(S3 sachant S2) car l'énoncé nous dit que le fait que S3 soit vrai ou pas ne dépend que de A2/S2/B2 et pas de A1/S1/B1.

Et ça me semble pas con de faire un arbre pour comprendre le truc : le "sachant S1 et S2" il te donne les deux étapes précédentes sauf que tu n'a rien à f... de l'avant dernière étape pour calculer la proba d'une certaine arrête de l'arbre : seule la dernière étape rentre en ligne de compte dans le calcul.

[harcée]

Merci pour l'explication, j'ai enfin compris. Donc pour vérifier, je mets ici la rédaction de ma réponse :
Les probabilités de la journée n+1 dépendent de la journée n mais pas de la journée n-1. On a donc P(S2 sachant S1) = P(S2) et P(S3 sachant S1 inter S2) = P(S3 sachant S2).
D'où P(S1 inter S2 inter S3) = P(S2) * P(S2 sachant S1) * P(S3 sachant S1 inter S2)
= P(S2) * P(S2) * P(S3 sachant S2)
= 1/2*1/2*1/2
=1/8
Donc la probabilité que le titre reste stable 3 jours d'affilée est de 1/8.

[Ben314]

Perso, et sans trop réfléchir, j'aurais répondu 1/4=1/2*1/2 vu que :
- Le premier jour on est certain que c'est stable (énoncé)
- Le deuxième jour, sachant que c'est stable le premier, il y a 1 chance sur 2 que ça le reste.
- Le troisième jour, sachant que c'est stable le deuxième, il y a 1 chance sur 2 que ça le reste.

Les probabilités de la journée n+1 dépendent de la journée n mais pas de la journée n-1. On a donc P(S2 sachant S1) = P(S2) et P(S3 sachant S1 inter S2) = P(S3 sachant S2).
D'où P(S1 inter S2 inter S3) = P(S2) * P(S2 sachant S1) * P(S3 sachant S1 inter S2)
C'est là que ça déconne : c'est un P(S1) que tu doit mettre à cet endroit là et pas un P(S2)
= P(S1) * P(S2) * P(S3 sachant S2)
= 1*1/2*1/2
=1/4

Par contre, le premier truc en vert : P(S2 sachant S1) = P(S2), je l'aurais pas écrit vu que ce que te donne directement l'énoncé, c'est la valeur de P(S2 sachant S1) (=1/2) alors que P(S2) n'est pas directement donné par l'énoncé.
Idem plus bas où l'autre truc en vert dans le calcul P(S2), j'aurai plutôt gardé le P(S2 sachant S1) de la ligne précédente.
Mais bon, c'est juste une "mini remarque" sans grand intérêt.