Les fonctions logarithme, il y a des tas de façon de les présenter, mais une des plus simple, c'est de dire que
(log en base
de
), ça signifie que
.
Le log décimal des chimistes (et autres) correspond à
et dans cette base là (i.e. pour le log décimal), effectivement, le log, c'est simplement "le nombre de chiffre" dans le sens que log(1000)=3, log(10000)=4, etc...
De même, en informatique, pour parler de complexité, on utilise très souvent des log qui sont évidement des log en base 2 vu que le log en base 2 d'un entier N, c'est le nombre de chiffres en base 2, c'est à dire le nombre de bits qu'il faut pour écrire N dans la mémoire de l'ordi.
Par contre, le log des matheux, il est en base e=2,718... et comme on risque pas d'écrire les entiers en base e, ça ne correspond pas directement au "nombre de chiffre" dans une base donnée (ou alors il faut dire que c'est une espèce de moyenne entre le nombre de chiffre de l'écriture en base 2 et de celle en base 3).
Et les matheux, il ont choisi cette base là plutôt qu'une autre car
toutes les fonctions logarithmes ont une dérivée de la forme x->Cst/x et que ce qui intéressait les matheux, c'est pas d'avoir une base
simple, mais d'avoir une dérivée simple, la plus simple de toute étant évidement x->1/x et pour ce faire, ben y'a pas le choix, faut prendre la base e.
Enfin, le choix de la base
n'a pas vraiment d'importance concernant le comportement de la fonction logarithme vu que, si
et que
alors
mais il suffit de considérer la constante
(indépendante de
) telle que
pour avoir
et donc pour tout réel
on aura
: les différentes fonction log ne diffèrent que d'une constante multiplicative donc ont le "même comportement" (lorsque x->0 ou x->+oo).
Bref, dans la pratique, pour tout réel
on a
: le logarithme népérien de x, c'est approximativement égal à 2,3 fois le nombre de chiffres de x et ça signifie que "ça monte très lentement" : si tu
multiplie x par 10, le log (népérien) ne fait que
augmenter d'un petit 2,3.
Si tu veut un réel de log (népérien) environ égal à 100, il faut prendre un réel ayant environ 45 chiffres donc... énorme et c'est éventuellement à comparer avec la fonction x->racine(x) dont la courbe donne aussi l'impression de "s'aplatir" (i.e. de tendre lentement vers l'infini) mais où, pour avoir racine(x)=100, il suffit de prendre x=10000 (5 chiffres)