Transformation matrice A en matrice Jn,p,r

[Abilys38]

Bonjour,

Mon objectif est de transformer une matrice A(n,p) en matrice Jn,p,r par des opérations élémentaires.

Dans un premier temps, jai transformer la première ligne (a11, ... a1p) en (1,0,...,0).

Ensuite, je sais que je dois travailler sur la matrice A1 a n-1 ligne et n-1 colonnes (du moins je crois que). Mais je ne comprend pas comment, par des opérations élémentaires, je peux quand ça me chante travailler sur une nouvelle matrice. Est ce que vous pourriez m'expliquer?

Je sais que ça doit pas être sorcier, mais je n'ai pas encore trouvé !!

Merci beaucoup !

[Ben314]

Salut,
- C'est quoi que tu appelle une matrice Jn,p,r ?
- Par "opérations élémentaires", est ce que ce que tu entend, c'est bien Ajout à une ligne d'un multiple d'une autre + Echange de 2 ligne + Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul ?
- Est ce que tu veut le faire dans le cas général où dans le cas d'une matrice particulière ?

Sinon, pour moi, tout les trucs qui tourne autour de ce genre de méthode, c'est ce qu'on appelle élimination de Gauss-Jordan et tu devrait regarder aussi du coté de la mise sous forme échelonnée (ou "échelonnée réduite").

[Abilys38]

Bonjour,

Désolé, Je pensais que c'était une matrice connue.
Donc cest la matrice In à la différence que la diagonal des 1 s'achèvent à la r iéme colonne suivie de 0 ...
En clair, cest E11 + E22 + .... + Err

[Abilys38]

Je regarde les liens et reviendrai en cas de problème !! Merci !

[Al-Kashi]

Bonjour,
Regarde les liens de Ben314, et reviens en cas de problème.

[Ben314]

Si tu veut obtenir comme résultat une matrice avec des 1 sur "une partie" de la (pseudo) diagonale (au cas où elle est rectangulaire), tu ne peut pas te contenter d'opérations sur les lignes (ou alors il faut des hypothèses supplémentaires) donc le truc décrit dans Wiki est insuffisant pour arriver à ton Jn,p,r
En fait, les opérations sur les lignes correspondent à multiplier à gauche par des matrices élémentaires, c'est à dire en fait à faire des changements de base de l'e.v. F d'arrivé de l'application linéaire E->F correspondant à la matrice.
Et si tu as par exemple une matrice du type , il est clair qu'il faut obligatoirement modifier la base l'espace de départ E (de façon à prendre un vecteur du noyau de l'application linéaire dans la base de E) pour transformer la matrice en .
Et ça revient en fait à multiplier à droite par des matrices élémentaires, c'est à dire à faire des manipulations sur les colonnes (dans l'exemple, on retranche 3.C1 à C2 ce qui revient à dire qu'on remplace la base (e1,e2) de l'espace de départ par la base (e1,e2-3.e1) ).

[Abilys38]

Merci pour les infos!
Je vais tenter tout ça quand je retournerai à mes exos !!

[Abilys38]

Je suis désolé mais Les liens n'ont pas trop répondu à ma question. En fait, ce que je comprend pas, cest l'idée selon laquelle on peut réduire une matrice pour arriver à un résultat.
Pour le fait de jouer avec les lignes et les colonnes en multipliant par des Eij, situés avant ou après la matrice, je comprend comment ça marche.

Ce que je ne comprend pas encore:
1) comment et pourquoi est ce possible de retirer une ligne et une colonne?
2) je ne vois pas comment même en jouant avec mes lignes et colonnes, je peux arriver à Inp ou meme a Jnpr

Merci !

Edit: ma seule idée, cest de faire en sorte que toute la première ligne et toute la premieee Colone soit transformée en

10......0
0
.
.
.
0

Puis réduire ma matrice puis refaire ce procédé. Mais malheureusement, je ne comprend pas ce qui m'autorise à réduire ma matrice

[Ben314]

Je sais pas où tu as lu ça, mais personnellement, je retire jamais de ligne ou de colonne à une matrice, sauf évidement si je doit considérer une restriction (à la source ou au but) de l'application linéaire considérée.

Et tu n'a absolument rien à réduire : ce que fait, c'est que tu recommence exactement le même processus avec "le reste" de ta matrice en constatant que bien évidement, les opération que tu va faire par la suite ne vont rien changer à ta ligne et ta colonne de 0 (vu que 0+Ax0 ben ça fera toujours zéro et que d'échanger un zéro avec un autre zéro, ça va pas bien changer grand chose non plus...).

Et si tu écrit des truc "théorique", fait bien gaffe au fait que c'est pas sûr que tu puisse mettre un 1 en haut à gauche de ta matrice : si au départ elle est entièrement nulle, ben ton "1", tu le sortira pas d'un chapeau (et évidement, idem pour la suite...)