Trouver les distances

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Trouver les distances

par Ben314 » 04 Fév 2017, 22:52

Pseuda a écrit:Il me semble qu'avec la loi des sinus dans les triangles ABI, BCI et ACI, et dans le triangle ABC, et en égalisant la somme des aires des 3 triangles avec celle d'ABC, tout en exploitant le fait que I point d'intersection des bissectrices du triangle, est à égale distance des côtés du triangle, on doit pouvoir y arriver ? J'ai essayé mais sans résultat pour l'instant.
De toute façon, mon truc, le moins qu'on puisse dire, c'est que "c'est pas trop géométrique" donc ça serait pas mal d'en trouver un preuve plus géométrique.
Par contre, ça me donne quand même fortement l'impression qu'on ne passera pas à travers la résolution d'une équation de degrés 3 et ça me donne aussi un peu (mais moins fortement) l'impression que le rapport (ou sans doute sa racine carré pour avoir la bonne unité) joue un certain rôle dans le bidule.
Reste à voir si géométriquement il correspond à quelque chose de connu mais à froid, ça me dit rien...

EDIT : Si je me suis pas gouré, quelque soient il y a une et une seule solution (En regardant les variations du polynôme, puis en vérifiant que les vecteurs propres ont leur coordonnées toutes de même signe)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius



Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: Trouver les distances

par Lostounet » 05 Fév 2017, 04:56

@Ben: bravo pour le coup de l'algèbre linéaire, j'aurais jamais pensé.

Sinon ça ressemble à une généralisation (ou pas?) d'un problème que j'avais posé sur le forum il y a quelques années ici enigmes/equiprobleme-t123447-20.html

Un point dans un triangle équilatéral avec distances aux 3 sommets connues (bon ici on a une donnée en plus sur le point I mais on perd l'égalité des 3 côtés...). Une approche géométrique avait été proposée: dupliquer la figure pour trouver un hexagone régulier. Je sais pas dans quelle mesure les autres solutions peuvent être adaptées à ce problème. Nightmare parlait de tétraèdre de volume nulle mais j'ai jamais compris en quoi ça permettait de conclure.

En tout cas j'étais parti sur un truc standard avec Al-Kashi et des substitutions: laborieux mais ça marchait quand même.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Trouver les distances

par Ben314 » 05 Fév 2017, 12:22

Concernant l'énoncé, certes, ça ressemble un peu, mais a mon sens concernant la "philosophie du bidule", c'est pas pareil du tout.
Dans le cas de l'autre énoncé, les méthodes "à la bourrin" avec que des calculs montrent qu'on peut résoudre le problème uniquement en résolvant des équations de degré 2 donc qu'on peut construire les solutions à la règle et au compas et ça incite évidement à trouver une construction purement géométrique (qui s'avère exister).
Alors que là, dans les calculs, tu ne coupera pas à la résolution d'une équation de degré 3 car le polynôme P çi dessus est souvent irréductible sur Q et ça signifie qu'on ne peut pas résoudre le problème général à la règle et au compas donc qu'il n'y a pas de solution géométrique simple ou alors avec... un trisecteur ou un autre instrument de même style qu'on a très peu l'habitude d'utiliser.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
chan79
Modérateur
Messages: 10330
Enregistré le: 04 Mar 2007, 21:39

Re: Trouver les distances

par chan79 » 05 Fév 2017, 20:56

salut
On se donne trois nombres positifs , et .
On place un point I.
On trace les cercles c1, c2, c3 de centre I et de rayons respectifs , et .
On place un point A, fixe sur c1.
On place un point B sur c2. (sur le demi cercle bleu)
On place C intersection de la symétrique de (AB) par rapport à (AI) et de la symétrique de (AB) par rapport à (BI).
On place le lieu (en rouge ci-dessus) de C quand B varie.
On peut conjecturer qu'il existe effectivement toujours deux positions de B pour lesquelles C appartient à c3.
Dommage qu'on ne puisse pas placer les points d'intersection du lieu et de c3 avec geogebra.
Image

Pour la figure animée:
https://www.geogebra.org/m/muTjxAMX

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Trouver les distances

par Ben314 » 05 Fév 2017, 21:51

Normalement, avec Géogébra (et uniquement le module de géométrie), il y a moyen de tracer les solutions exactes au problème vu qu'il accepte (je viens de tester) de construire l'intersection de deux coniques et, algébriquement parlant, ça signifie qu'on peut résoudre des équations du 4em degré (donc du 3em).

Le tout évidement, c'est de trouver une construction pas trop "capilotractée", c'est à dire qui se contenterais pas de reprendre pas à pas les calculs algébriques.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
anthony_unac
Habitué(e)
Messages: 1115
Enregistré le: 30 Juin 2007, 01:31

Re: Trouver les distances

par anthony_unac » 05 Fév 2017, 23:54

Bonsoir,
Cette énigme est intéressante si on considère le cas général :
Soient IA, IB et IC trois longueurs données, déterminez les longueurs des côtés du triangle ?
J'imagine que des gens se sont déjà intéressés à cette façon de définir un triangle (reste plus qu'à chercher y compris du côté de nos amis anglo saxons)

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Trouver les distances

par Pseuda » 06 Fév 2017, 00:28

Bonsoir,

J'ai l'impression que le poseur du problème ne s'est pas tant cassé la tête. Il a dû prendre un triangle de côtés 7, 8 et 9, calculer les distances du centre du cercle inscrit aux sommets du triangle.

Et il se trouve qu'il y a une seule solution.

Avatar de l’utilisateur
chan79
Modérateur
Messages: 10330
Enregistré le: 04 Mar 2007, 21:39

Re: Trouver les distances

par chan79 » 06 Fév 2017, 01:20

oui, c'est ce que j'ai dit précédemment :)

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Trouver les distances

par Ben314 » 06 Fév 2017, 10:35

anthony_unac a écrit:Bonsoir,
Cette énigme est intéressante si on considère le cas général :
Soient IA, IB et IC trois longueurs données, déterminez les longueurs des côtés du triangle ?
J'imagine que des gens se sont déjà intéressés à cette façon de définir un triangle (reste plus qu'à chercher y compris du côté de nos amis anglo saxons)
Voire éventuellement... lire les messages de ce même post. précédant le tien...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
chan79
Modérateur
Messages: 10330
Enregistré le: 04 Mar 2007, 21:39

Re: Trouver les distances

par chan79 » 06 Fév 2017, 10:40

Pour terminer cette discussion (en ce qui me concerne), encore une petite image
Image

et un lien vers une animation qui affiche les valeurs de a, b et c en fonction de ,et.
Utiliser les curseurs pour modifier ,et.

https://www.geogebra.org/m/HAW8jFmn

b etc sont les coordonnées du point d'intersection de deux courbes (non dessinées).
La distance a se calcule avec (a+b+c)=bc(b+c-a)
On peut alors dessiner le triangle ABC et I.

Autres résultats en vrac:
Image
Image
Image
Image
Image
Image
Image
Image

et aussi

Image
Image
Image

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: Trouver les distances

par Lostounet » 07 Fév 2017, 02:04

Bonsoir à tous,

Une question me taraude.
Est-ce que si on ajoutait l'hypothèse "sachant que les côtés sont des entiers positifs" (éventuellement consécutifs?) cela ne permettrait pas de faciliter la résolution?

En effet comme je m'étais gourré avec le coup des 3 équations à 3 inconnues de Dany, je suis quand même parvenu au résultat exact en exhibant un triplet d'entiers solutions.... je ne pense pas que ce soit le fruit du hasard?

Qu'en pensez-vous?
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Trouver les distances

par Ben314 » 07 Fév 2017, 13:17

Si tu rajoute des Hypothèses du style que les longueurs cherchées sont entières (voire même rationnelles) alors le qu'on cherche est rationnel et, si IA², IB², IC² sont eux même entiers (voire rationnels) le polynôme dont est racine est à coeff. entiers (ou rationnels) et il n'y a qu'un nombre fini d'essais à faire pour trouver (et si IA², IB², IC² sont entiers, on est même sûr que est entier vu qu'il est rationnel et racine d'un polynôme unitaire à coeff. entiers)

Sinon, j'ai vaguement regardé, mais j'ai pas trouvé de coniques simples à tracer dont l'intersection donne les solutions du problème...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Avatar de l’utilisateur
chan79
Modérateur
Messages: 10330
Enregistré le: 04 Mar 2007, 21:39

Re: Trouver les distances

par chan79 » 07 Fév 2017, 14:59

, et étant donnés (positifs), il y a donc une unique solution pour
on peut montrer




(b,c) est donc la solution du système:

x ( -y³ + y (α + β)) = -α y² + α² - α β
y (x³ - x(γ + α )) = x² α + α γ – α²

Ce sont deux quartiques.
(il faut prendre le point d'intersection à coordonnées positives)

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21482
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Trouver les distances

par Ben314 » 08 Fév 2017, 14:03

Si je me suis pas trop gouré (avec Maple), si on veut rester le plus longtemps possible sur du quadratique = de degré 2 = traçable à la règle et au compas, on peut écrire que :
(*)
Jusque là, tout est "très propre" (totalement symétrique et de degré au plus 2).

Par contre, le "hic", c'est que est l'unique solution >0 de l'équation

Si on veut rester dans du "relativement géométrique", est l'abscisse du point d'intersection de la parabole d'équation et de la demi hyperbole d'équation .
qui reste "bien symétrique", mais c'est plus traçable à la règle et au compas.
(Sur ]0,+oo[, la parabole variant de ??? à +oo en croissant et l'hyperbole variant de +oo à 0 en décroissant, l'existence et l'unicité de la solution, en et donc en "saute aux yeux")

(*) Qu'on peut écrire différemment compte tenu de l'équation polynomiale dont est solution : il y a donc éventuellement une écriture "plus facile" à interpréter géométriquement.
Et par rapport au données "finales" , en fait on a tout bêtement .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 10 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite