Espace vetoriel

[deliche]

Bonjour, j'ai cette exercice que je ne comprend pas tres bien si vous pouviez m'aidez a le comprendre. Voici l'enoncé:

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et E* son espace dual.On définit une relation sur E*xE en posant pour tout E* et tout xE:


Pour toute partie P de E, on note: = { }

A et B designent des sous espace quelconque de E
Montrer que pour toute partie de E, est un sous espace de E*

Je sais qu'il faut montrer que est non vide et linéaire mais je ne sais pas trop comment faire.

[L.A.]

Bonjour,

il suffit de prouver que, si f et g sont deux formes linéaires qui s'annulent sur tous les vecteurs x appartenant à P, alors toute combinaison linéaire de f et g s'annule aussi sur tous les vecteurs de P. C'est plus court à faire qu'à dire en fait...

[deliche]

Oui mais c'est quoi par exemple tq f,g. C'est ca qui m'empeche un peu d'avancer parceque je sais que je dois montrer que f+kg

[Ben314]

Salut,

Oui mais c'est quoi par exemple ...

L'énoncé te dit que P, c'est une partie de E et que c'est une partie de .
Par contre d'écrire derrière une partie (de n'importe quoi) des parenthèses avec un symbole entre les parenthèse, je vois vraiment pas ce que ça peut signifier.
Si je prend la partie [0,1] de R et le réel x, pour toi, c'est sensé vouloir dire quoi [0,1](x) ?

[deliche]

D'accord je comprend ce que tu veut dire .
Mais si est une partie de E* comment je vais faire pour montrer que c'est linéaire avec les combinaison linéaire f et g

[Ben314]

De nouveau (mais là, c'est moins grave), ça ne veut rien dire qu'une "partie de E* est linéaire" : l'adjectif "linéaire" s'applique à un truc qui est une application et pas à un truc qui est un ensemble.
Ce que tu doit montrer, c'est que est stable par addition et multiplication par un scalaire, c'est à dire que, si f et g sont deux éléments de l'ensemble alors leur somme est aussi dans et que, si f est un élément de l'ensemble et que est un réel (ou un élément du corps K si E est un e.v. sur K) alors f est un élément de .

Et comme le dit si bien L.A. ci dessus, une fois que tu as écrite ce que signifiait (par définition) le fait de "être dans l'ensemble ", (pour f et pour g), ben c'est fini, tu as immédiatement le résultat.

[deliche]

Donc j'ai juste a dire que pour tout f,g on a f+g donc est stable par addition et multiplication par un scalaire donc est bien un s-e-v de E*. C'est suffisant? Je trouve que ca ne prouve pas forcement que f+g

[Ben314]

Donc j'ai juste a dire que pour tout f,g on a f+g donc est stable par addition et multiplication par un scalaire donc est bien un s-e-v de E*. C'est suffisant? Je trouve que ca ne prouve pas forcement que f+g

Ben forcément, si tu ne fait que le dire sans le démontrer, ça risque pas d'être suffisant.

Donc bis et répéta, ça signifie quoi (par définition) que f et g sont dans ?
Et de démontrer que f+g, ça signifie démontrer quoi ?

Enfin, bref, au minimum comprendre que pour démontrer quelque chose, ben faudrait éventuellement songer à écrire les hypothèses qu'on a ainsi qu'écrire la conclusion à laquelle on est sensé aboutir !!!!

[deliche]

Je pense que ca veut dire f

[Pseuda]

Je pense que ca veut dire f

Bonsoir,

Ouh là. ne veut rien dire sachant que est une forme linéaire, soit une application de dans et f aussi j'imagine.

Pour montrer que est un sous-espace vectoriel de E*, il faut juste appliquer mot à mot les définitions : on prend f et g dans et un réel k , il faut alors montrer que f+kg :

- poser la définition de f dans :
- poser la définition de g dans : ....
- poser la définition de f+kg dans : ....

et montrer que les 2 premières affirmations induisent la 3ème.

[deliche]

Finalement j'ai bien reussi a montrer que f+g je ne sais pas pourquoi je me suis embrouillé comme ca. Par contre j'ai une autre question mais je ne sias pas du tout par quoi commencé pour montrer ca
2.Montrer que pour toute forme linéaire sur A se prolonge en une forme linéaire sur E.

[Ben314]

En dimension finie, comme c'est le cas ici, on s'en sort facilement en considérant un s.e.v. B supplémentaire du s.e.v. A (on sait qu'il en existe).
Si est ce que tu vois comment prolonger (on ne peut plus simplement) une forme linéaire définie sur A en une forme linéaire définie sur E tout entier ?

[deliche]

Je vois pas trop, mais A c'est un sous espace quelconque de E, apres une forme linéaire sur E qui est nul?