Limites voisinage de x0

[maths777]

Bonjour à tous, je voudrais savoir s'il existe un rayon maximal à ne pas dépasser pour dire que x se trouve au voisinage de x0. Car dans certains exercices si x par exemple tend vers 3 . On dit que x est superieur à 1. Mais pour un rayon superieur à 2, x peut être inferieur à1.

[Ben314]

Salut,
Question simple => réponse simple :
Dire que "x se situe au voisinage de x0" n'a fondamentalement aucun sens en mathématique et je pense que c'est exactement la même chose dans tout les autres domaines (en tout cas scientifiques).

Si je ne connais pas le contexte, je ne vois vraiment pas ce que je pourrait répondre à quelqu'un qui me demanderais à froid si "3,1 se situe au voisinage de 3". Rien qu'en physique, si tu écrit que "3,1 est une approximation de 3" sans préciser "à combien près", tu voit bien que ça a pas de sens.

Et exactement pour la même raison, dire (uniquement) que "x tend vers 3" ça veut rien dire du tout, c'est à dire que tu ne risque pas de trouver où que ce soit une définition de "x tend vers 3" tout seul.
Ce que tu va trouver (partout), c'est par exemple la définition de "f(x) tend vers L lorsque x tend vers 3" ou n'importe quoi du même style contenant DEUX FOIS les mots "tendre vers" (et avec systématiquement un "lorsque" dans la phrase).

[maths777]

D'abord je te remercie pour ta réponse . Effectivement dans l'exercice je devais calculer
Lim(x*lx-1l+5) lorsque x tend vers 3. Et je trouve dans la solution :puisque x tend vers 3 alors x>1
D'où lx-1l=x-1 . Je me suis demandé donc si c'est toujours vrai quelque soit le rayon r de l'intervalle du voisinage.

[Ben314]

A mon avis d'écrire que
"vu que x tend vers 3, on a x>1"
c'est quand même très très très mal dit.

Perso, je pense que j'aurais écrit
"Vu qu'on cherche la limite de f(x) lorsque x tend vers 3, on peut se limiter à l'étude de f(x) pour x>1" (*)
qui est certes bien plus long à écrire, mais qui au moins a parfaitement du sens et qui correspond à un vrai théorème qu'on pourrait éventuellement écrire sous la forme :
Pour déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers xo, il suffit de connaitre f(x) sur un (éventuellement petit) intervalle ouvert contenant xo"
Théorème qui dit effectivement que, intuitivement parlant, pour déterminer la limite de f(x) lorsque x tend vers xo, il suffit de regarder combien vaut f(x) pour x proche de xo. Mais cette formulation ne peut rester qu'intuitive vu que "x proche de xo", formellement, ça ne veut rien dire et que pour parler de cette notion de façon rigoureuse, il faut la remplacer par des trucs du style "un intervalle ouvert contenant xo"

(*) On pourrait aussi, si c'était utile, se limiter à l'étude de f(x) pour x compris entre 2,99 et 3,01
Mais on ne peut pas se limiter à celle de f(x) pour x entre 3 et 3,01 par exemple.

[maths777]

Bien compris! Merci encore une fois.