MATHS BTS SUITES NUMERIQUES

[FlorianM]

Bonjour, je fais une remise à niveau de maths et je suis bloqué à la question 3 de cet exercice :

Soit la suite (un)n∈N définie par son premier terme u0 et par 4un+1 =3 un + 2
1) Pour quelle valeur de u0 la suite (un)n∈N est-elle stationnaire ?
2) Pour la suite, nous supposons que u0 = -1. Calculer les 4 premiers termes.
3) Soit la suite (vn)n∈N définie par vn = un –2.
Montrer que la suite (vn)n∈N est une suite géométrique . En déduire l’expression de un en
fonction de n.

Voilà donc, vous remerciant beaucoup pour vos éclaircissements.

[liryck]

Salut je suppose que la première question te bloque?

Si un est stationnaire u(n+1) =un.
Donc,
tu peux essayer de résoudre l'équation 4x=3x+2

[Ben314]

Salut,

Salut je suppose que la première question te bloque?

Visiblement, les avis sont partagés, mais moi, j'aurais plutôt dit que c'était la question 3 qui lui posait problème

...et je suis bloqué à la question 3...

Pour la 3), vu la formule archi compliquée qui lie Un à Vn, tu arrive les doigt dans le nez à écrire non seulement Vn en fonction de Un, mais aussi à écrire Un en fonction de Vn.
Ensuite LE truc à bien comprendre, c'est que le "on pose Vn=Un-2", il signifie en fait que, pour tout entier n on a Vn=Un-2.
Et comme n+1 est lui même un entier, ça veut dire qu'on a aussi V(n+1)=U(n+1)-2
Et une fois que tu as V(n+1) en fonction de U(n+1), la formule définissant la suite (Un) te permet d'en déduire V(n+1) en fonction de Un puis le truc souligné çi dessus te permet d'écrire V(n+1) en fonction de Vn.

[FlorianM]

Donc, si j'en suis la formule des suites géométriques c'est :
Vn+1 = Un+1/Un , pas vrai ?
Donc, Vn+1/Un = U(n+1)-2/U(n)-2 = -1/-2 = 0,5n

[liryck]

Salut FlorianM,
une suite géométrique est de la forme:

autrement dit pour trouver le terme suivant il suffit de multiplier par r
on a donc:

Dans la question 3) il faut montrer que Vn est géométrique.
Donc il faut montrer que:


calcul V(n+1)/Vn, ensuite comme la souligné Ben, tu obtiens l’expression de Vn et donc de V(n+1) et donc celle de Un.

[FlorianM]

Ensuite LE truc à bien comprendre, c'est que le "on pose Vn=Un-2", il signifie en fait que, pour tout entier n on a Vn=Un-2.
Et comme n+1 est lui même un entier, ça veut dire qu'on a aussi V(n+1)=U(n+1)-2

[FlorianM]

Salut liryck, donc par conséquent : Vn+1/Vn = U(n+1)-2/U(n)-2 = -1/-2 = 0,5n.
C'est bon normalement ?

[liryck]

Salut Florian,
Comment fais-tu pour trouver 1/2? Je pense que tu as fait une erreur de calcul.


En suite tu sais que

donc tu en déduis que

Comme Vn est géométrique tu connais Vn et donc l'expression de Un.

[FlorianM]

D'accord, encore merci à toi lyrick !

[Ben314]

C'est un détail de chez détail, mais perso., je mènerais plutôt les calculs sous la forme

Ca ne change évidement rien à la "philosophie des calculs" (c'est presque de la recopie),
mais ça évite d'avoir à justifier que est différent de 0 pour tout
Rappel : on ne peut pas diviser par 0...

En plus je trouve ça bien plus "normal" vu que tout s'enchaine extrèmement logiquement et qu'on a pas à chercher à la fin de "factorisation magique" pour simplifier le résultat :

(a) Car pour tout
(b) Par définition de la suite

Et dans l'expression finale, il suffit de bètement tout développer pour voir si on trouve bien un truc du style .