Exercice complexe

[Lara1305]

Bonjour,
J'ai cet exercice à faire dont je ne comprend vraiment pas le sens..
Je ne sais ni quoi faire pour démarrer, ni quelle méthode utiliser pour réussir cet exercice.

1. On pose z0= cos(2π/5)+isin(2π/5)
a) On pose α= z0+z0^4
Montrer que 1+z0+z0²+z0^3+z0^4=0 et en déduire que α est solution de l'équation(1): X²+X-1=0

b) Déterminer α en fonction de cos(2π/5)

c) Résoudre l'équation (A) et en déduire la valeur de cos(2π/5)

2. On appelle A0,A1,A2,A3 et A4 les points d'affixes respectives 1,z0,z0²,Z0^3,z0^4, dans le plan muni d'un repére orthonormé direct (O,u,v).

a) Soit H le point d'intersection de la droite (A1A4) avec l'axe des abscisses. Montrer que l'abscisse de H est égale à cos(2π/5).

b) Soit C le cercle de centre Ω d'affixe -1/2 passant par le point B d'affixe i. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en M et N (on appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que l'abscisse XM de M est égale à α et que H est le milieu de [OM].

En déduire une construction simple d'un pentagone régulier dont on connaît le centre O et un sommet A0.


Merci par avance a tout éclairement que vous saurez m'apporter !

[anthony_unac]

Bonjour,
Coup de bol, la toute première question est purement calculatoire donc un calcul suffit pour y répondre, non ?

[Lara1305]

Bonjour,
Coup de bol, la toute première question est purement calculatoire donc un calcul suffit pour y répondre, non ?

Il n'y a pas de module a calculer..?
Car si c'est du calcul "pur et simple " je dois faire une erreur car je tombe sur tout les résultats possible sauf 0 ...

[anthony_unac]

Montrez voir vos lignes de calcul ...

[mathelot]

on peut utiliser à la place de

[Manny06]

c'est la somme des racines 5° de 1 qui est nulle

[Pseuda]

Bonjour,

Il s'agit aussi de la somme des termes d'une suite géométrique (complexe, mais les règles d'addition sont identiques à celle des réels) de 1er terme 1 et de raison z0.

Il n'y a plus qu'à calculer z0^5.

(précision apportée au cas où tu n'aurais pas vu la somme des racines n-ièmes de l'unité)

[anthony_unac]

Bonjour,
Coup de bol, la toute première question est purement calculatoire donc un calcul suffit pour y répondre, non ?

Il n'y a pas de module a calculer..?
Car si c'est du calcul "pur et simple " je dois faire une erreur car je tombe sur tout les résultats possible sauf 0 ...

Et pourtant ...
Allez y lancez vous

[Tiruxa47]

Bonjour,

Il s'agit aussi de la somme des termes d'une suite géométrique (complexe, mais les règles d'addition sont identiques à celle des réels) de 1er terme 1 et de raison z0.

Il n'y a plus qu'à calculer z0^5.

On peut aussi redémontrer cette formule qui en toute logique n'a été vu que pour des réels

Soit S = 1+z0+z0²+...+z0^4

On mutiplie la somme par -z0 et l'on ajoute membre à membre

On obtient S-z0 S=1-z0^5

D'où on tire S sachant que z0 est différent de 1